Mostre que se f: A R é uma função de classe C^1 definida no aberto A de R^2 e P0 é um ponto de A para o qual se tem nabla f(P0) neq 0, então, para qualquer de0 existem pontos P1 e P2 em A tais que max |P1-P0|,|P2-P0| e f(P1).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrar que, se temos uma função f: A R que é de classe C^1 (ou seja, tem derivadas contínuas) definida num conjunto aberto A em R^2, e um ponto P0 nesse conjunto onde o gradiente de f em P0 não é o vetor zero, então para qualquer distância de 0, existem dois pontos próximos a P0 que fazem f diminuir e aumentar em relação a f(P0). Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos como gradiente, função diferenciável e como a função se comporta perto de um ponto onde o gradiente não é nulo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o gradiente de uma função. O gradiente de f em P0, denotado por nabla f(P0), é um vetor que aponta na direção de maior aumento da função naquele ponto, e sua magnitude indica a taxa de variação nessa direção. Como nabla f(P0) neq 0, isso significa que existe pelo menos uma direção em que a função está aumentando ou diminuindo ao redor de P0.

Passo 3

Como a função f é de classe C^1, ela é diferenciável em P0 e em um entorno dele. Isso nos permite usar a aproximação linear da função perto de P0. Especificamente, podemos escrever:
f(P) approx f(P0) + nabla f(P0) cdot (P - P0)
para pontos P próximos a P0. Esse termo nabla f(P0) cdot (P - P0) nos dá uma ideia de como a função varia quando nos movemos de P0 para P.

Passo 4

Agora, vamos escolher uma direção específica para nos movermos a partir de P0. Como o gradiente não é zero, podemos escolher um vetor unitário u na direção de nabla f(P0). Isso significa que:
u = nabla f(P0)|nabla f(P0)|
onde |nabla f(P0)| é a norma (ou tamanho) do gradiente em P0.

Passo 5

Vamos então definir dois pontos: P1 = P0 - epsilon u e P2 = P0 + epsilon u, onde epsilon > 0 é um número pequeno que vamos escolher mais tarde para garantir que ambos os pontos fiquem dentro do raio de ao redor de P0. Essencialmente, estamos nos movendo uma distância epsilon na direção oposta e na direção do gradiente.

Passo 6

Aplicando a aproximação linear que fizemos no Passo 3 para P1 e P2:
f(P1) approx f(P0) + nabla f(P0) cdot (P1 - P0) = f(P0) - epsilon |nabla f(P0)|
e
f(P2) approx f(P0) + nabla f(P0) cdot (P2 - P0) = f(P0) + epsilon |nabla f(P0)|
Isso mostra que, para epsilon pequeno, f(P1) é menor que f(P0) e f(P2) é maior que f(P0).

Passo 7

Agora, precisamos garantir que P1 e P2 estejam dentro do conjunto aberto A e que a distância deles a P0 seja menor que de. Como A é aberto e P0 in A, existe um raio de 0 tal que a bola de raio de centrada em P0 está completamente dentro de A. Basta escolher epsilon tal que 0 < epsilon < minde para garantir que ambos os pontos estejam dentro de A e a menos de de de P0.

Passo 8

Finalmente, como a aproximação linear está válida para epsilon pequeno e, na verdade, como f é C^1, podemos fazer epsilon suficientemente pequeno para que as desigualdades f(P1) < f(P0) < f(P2) realmente se mantenham (não apenas aproximadamente). Assim, para qualquer de 0, existem pontos P1 e P2 dentro de A, a menos de de de P0, onde f diminui e aumenta respectivamente.

Resposta

Portanto, mostramos que para qualquer de 0, existem pontos P1 e P2 em A tais que max |P1 - P0|, |P2 - P0| < de e .

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