Mostre que se
é uma função de classe
definida no aberto
de
e
é um ponto de
para o qual se tem
, então, para qualquer
existem pontos
e
em
tais que
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrar que, se temos uma função
que é de classe
(ou seja, tem derivadas contínuas) definida num conjunto aberto
em
, e um ponto
nesse conjunto onde o gradiente de
em
não é o vetor zero, então para qualquer distância
, existem dois pontos próximos a
que fazem
diminuir e aumentar em relação a
. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos como gradiente, função diferenciável e como a função se comporta perto de um ponto onde o gradiente não é nulo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o gradiente de uma função. O gradiente de
em
, denotado por
, é um vetor que aponta na direção de maior aumento da função naquele ponto, e sua magnitude indica a taxa de variação nessa direção. Como
, isso significa que existe pelo menos uma direção em que a função está aumentando ou diminuindo ao redor de
.
Passo 3
Como a função
é de classe
, ela é diferenciável em
e em um entorno dele. Isso nos permite usar a aproximação linear da função perto de
. Especificamente, podemos escrever:
para pontos
próximos a
. Esse termo
nos dá uma ideia de como a função varia quando nos movemos de
para
.
Passo 4
Agora, vamos escolher uma direção específica para nos movermos a partir de
. Como o gradiente não é zero, podemos escolher um vetor unitário
na direção de
. Isso significa que:
onde
é a norma (ou tamanho) do gradiente em
.
Passo 5
Vamos então definir dois pontos:
e
, onde
é um número pequeno que vamos escolher mais tarde para garantir que ambos os pontos fiquem dentro do raio
ao redor de
. Essencialmente, estamos nos movendo uma distância
na direção oposta e na direção do gradiente.
Passo 6
Aplicando a aproximação linear que fizemos no Passo 3 para
e
:
e
Isso mostra que, para
pequeno,
é menor que
e
é maior que
.
Passo 7
Agora, precisamos garantir que
e
estejam dentro do conjunto aberto
e que a distância deles a
seja menor que
. Como
é aberto e
, existe um raio
tal que a bola de raio
centrada em
está completamente dentro de
. Basta escolher
tal que
para garantir que ambos os pontos estejam dentro de
e a menos de
de
.
Passo 8
Finalmente, como a aproximação linear está válida para
pequeno e, na verdade, como
é
, podemos fazer
suficientemente pequeno para que as desigualdades
realmente se mantenham (não apenas aproximadamente). Assim, para qualquer
, existem pontos
e
dentro de
, a menos de
de
, onde
diminui e aumenta respectivamente.
Resposta
Portanto, mostramos que para qualquer
, existem pontos
e
em
tais que
e .