Encontre a transformada de Laplace inversa de cada função a seguir.
F(s)=s^2+1s(s-1)(s+1)(s-2)

Passo 1

O enunciado pede a transformada inversa de
F(s)=s^2+1s(s-1)(s+1)(s-2)
O conteúdo principal aqui é a transformada de Laplace inversa, e vamos utilizar decomposição em frações parciais seguida da aplicação da tabela básica
L^-11/s=1,
L^-11/(s-a)=e^at.

Passo 2

Proponho a decomposição em frações parciais
s^2+1s(s-1)(s+1)(s-2)=As+Bs-1+Cs+1+Ds-2

Passo 3

Multiplicando ambos os lados por s(s-1)(s+1)(s-2) obtemos
s^2+1 =A,(s-1)(s+1)(s-2) +B,s(s+1)(s-2) +C,s(s-1)(s-2) +D,s(s-1)(s+1)
Para achar A,B,C,D avaliamos em s=0,1,-1,2:
  • s=0: 1=Acdot(-1)cdot1cdot(-2)=2A;Rightarrow;A=tfrac12
  • s=1: 2=Bcdot1cdot2cdot(-1)=-2B;Rightarrow;B=-1
  • s=-1: 2=Ccdot(-1)cdot(-2)cdot(-3)=-6C;Rightarrow;C=-tfrac13
  • s=2: 5=Dcdot2cdot1cdot3=6D;Rightarrow;D=tfrac56

Passo 4

Substituindo os coeficientes na decomposição, temos
F(s) =tfrac12s -1s-1 -tfrac13s+1 +tfrac56s-2

Passo 5

Aplicando a transformada inversa termo a termo:
L^-1ltfrac12sr=12, L^-1l-1s-1r=-e^t,
L^-1l-tfrac13s+1r=-13e^-t, L^-1ltfrac56s-2r=56e^2t
Logo a solução é
f(t) =12 -e^t -13e^-t +56e^2t, t>=0

Resposta

f(t)=12 - e^t - 13e^-t + 56e^2t

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