Exercício 5. Dada a EDOLH e uma solução, determine uma segunda solução L.I., utilizando o método de D’Alembert, e indique a solução geral da EDO.
x^2 y^prime prime-x(x+2) y^prime+(x+2) y=0 , y1=x

Passo 1

O enunciado dá a EDO de segunda ordem
x^2y''-x(x+2)y'+(x+2)y=0
e informa uma solução conhecida ,y1=x. O conteúdo é redução de ordem (método de D’Alembert) para encontrar uma segunda solução linearmente independente y2 e depois montar a solução geral.

Passo 2

Primeiro colocamos a equação na forma padrão y''+P(x)y'+Q(x)y=0. Dividindo todos os termos por x^2 (supondo xneq0), obtemos
y''-x+2x,y'+x+2x^2,y=0
Logo
P(x)=-x+2x

Passo 3

Pela fórmula de redução de ordem, se y1(x) é solução, então
y2(x)=y1(x),integral e^-integral P(x),dx[y1(x)]^2,dx
Aqui y1(x)=x, então precisamos calcular ,-!!integral P(x),dx.

Passo 4

Calculamos
-integral P(x),dx = -integrall(-x+2xr),dx =integralx+2x,dx =integrall(1+2xr),dx = x + 2lnlvert xrvert
Portanto
e^-integral P(x),dx=e^,x+2lnlvert xrvert =e^x,x^2

Passo 5

Substituindo em y2:
y2(x) =x;integrale^-integral P,dxx^2,dx =x;integrale^xx^2x^2,dx =x;integral e^x,dx
Fazendo a integral,
integral e^x,dx = e^x,
logo
y2(x)=x,e^x
(O constante de integração gera termo proporcional a y1 e pode ser desprezado.)

Passo 6

Agora que temos duas soluções linearmente independentes
,y1(x)=x e ,y2(x)=x e^x,
a solução geral da EDO é
y(x)=C1,y1(x)+C2,y2(x) =C1x + C2,x e^x,
com C1,C2 constantes arbitrárias.

Resposta

A segunda solução é y2(x)=x e^x e a solução geral é
y(x)=C1x + C2,x e^x

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