Exercício 5. Dada a EDOLH e uma solução, determine uma segunda solução L.I., utilizando o método de D’Alembert, e indique a solução geral da EDO.
Passo 1
O enunciado dá a EDO de segunda ordem
e informa uma solução conhecida
. O conteúdo é redução de ordem (método de D’Alembert) para encontrar uma segunda solução linearmente independente
e depois montar a solução geral.
Passo 2
Primeiro colocamos a equação na forma padrão
. Dividindo todos os termos por
(supondo
), obtemos
Logo
Passo 3
Pela fórmula de redução de ordem, se
é solução, então
Aqui
, então precisamos calcular
.
Passo 4
Calculamos
Portanto
Passo 5
Substituindo em
:
Fazendo a integral,
logo
(O constante de integração gera termo proporcional a
e pode ser desprezado.)
Passo 6
Agora que temos duas soluções linearmente independentes
e
,
a solução geral da EDO é
a solução geral da EDO é
com
constantes arbitrárias.
Resposta
A segunda solução é
e a solução geral é