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Mostre que se f(t) é contínua por partes e existem k>0 e M>0 tais que
|f(t)| <= M e^k t, para todo t>0
então existe a transformada de Laplace de f(t), L(f(t))=F(s), definida para s>k, e além disso,
lim s infty F(s)=0

Passo 1

O enunciado diz que temos uma função peça-wise contínua f(t) e constantes k>0 e M>0 tais que |f(t)|≤M e^{k t} para todo t>0. Queremos mostrar que a integral de Laplace \mathcalL{f}(s)=∫_0^∞ f(t)e^{-s t}dt existe para s>k e que lim_{s→∞}F(s)=0.

Passo 2

A definição da transformada de Laplace é
Para provar existência, basta mostrar que essa integral converge absolutamente quando s>k.

Passo 3

Usando a desigualdade triangular e o estimador dado:
|F(s)|<=integral0^∞|f(t)|e^-s tdt<= Mintegral0^∞e^k te^-s tdt=Mintegral0^∞e^-(s-k)tdt,
válido sempre que s-k>0.

Passo 4

A integral de referência é bem conhecida:
integral0^∞e^-(s-k)tdt=1s-k,
desde que s>k. Logo
|F(s)|<=Ms-k<+∞,
o que garante a existência de F(s) para s>k.

Passo 5

Para o limite em s→∞, observe que
0<=|F(s)|<=Ms-k
e como M/(s-k)→0 quando s→∞, pelo teorema do confronto temos lim_{s→∞}F(s)=0.

Resposta

A transformada de Laplace existe para todo s>k e satisfaz limstoinftyF(s)=0.

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