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Mostre que se
é contínua por partes e existem
e
tais que
então existe a transformada de Laplace de
, definida para
, e além disso,
Mostre que se
Passo 1
O enunciado diz que temos uma função peça-wise contínua f(t) e constantes k>0 e M>0 tais que |f(t)|≤M e^{k t} para todo t>0. Queremos mostrar que a integral de Laplace \mathcalL{f}(s)=∫_0^∞ f(t)e^{-s t}dt existe para s>k e que lim_{s→∞}F(s)=0.
Passo 2
A definição da transformada de Laplace é
Para provar existência, basta mostrar que essa integral converge absolutamente quando s>k.
Passo 3
Usando a desigualdade triangular e o estimador dado:
válido sempre que s-k>0.
Passo 4
A integral de referência é bem conhecida:
desde que s>k. Logo
o que garante a existência de F(s) para s>k.
Passo 5
Para o limite em s→∞, observe que
e como M/(s-k)→0 quando s→∞, pelo teorema do confronto temos lim_{s→∞}F(s)=0.
Resposta
A transformada de Laplace existe para todo s>k e satisfaz
.