Resolva pelo método de separação de variáveis:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema onde temos uma equação diferencial chamada de Laplace, que é $ u_{xx} + u_{yy} = 0 $. O objetivo é encontrar a função $ u(x, y) $ que satisfaz as condições dadas nas bordas do retângulo formado por $ x = 0 $, $ x = a $, $ y = 0 $ e $ y = b $. Vamos usar o método de separação de variáveis, que ajuda a quebrar a equação em partes mais simples para resolver.
Passo 2
Primeiro, assumimos que a solução pode ser escrita como o produto de duas funções, uma que depende só de $ x $ e outra que depende só de $ y $:
Passo 3
Vamos substituir $ u(x, y) = X(x) Y(y) $ na equação de Laplace:
Dividindo ambos os lados por $ X(x) Y(y) $:
Isso nos leva a:
onde $ \lambda $ é uma constante de separação.
Passo 4
Agora, temos duas equações ordinárias:
- Para $ X(x) $:
- Para $ Y(y) $:
Passo 5
Considerando as condições de contorno $ u(x, 0) = 0 $ e $ u(x, b) = 0 $, vamos resolver para $ Y(y) $. A solução geral para $ Y(y) $ que satisfaz essas condições é:
onde $ n $ é um número inteiro positivo.
Passo 6
Com essa escolha de $ Y_n(y) $, o valor de $ \lambda $ fica:
Passo 7
Agora resolvemos a equação para $ X_n(x) $:
A solução geral dessa equação é:
Passo 8
Aplicamos as condições de contorno $ u(0, y) = 0 $ e $ u(a, y) = y $:
Para $ x = 0 $:
Então,
Para $ x = a $:
Passo 9
Agora, precisamos encontrar os coeficientes $ A_n $ usando a expansão em série de Fourier da função $ y $ sobre o intervalo $ [0, b] $:
Multiplicando ambos os lados por $ \sin\left(\frac{m\pi y}{b}\right) $ e integrando de 0 a $ b $, aplicamos a ortogonalidade das funções seno para encontrar $ A_n $:
Passo 10
Calculando a integral, obtemos:
Simplificando,
Resposta
A solução da equação dada pelo método de separação de variáveis é: