Resolva pelo método de separação de variáveis:
lux x+uy y=0 u(0, y)=0, u(a, y)=y u(x, 0)=0, u(x, b)=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema onde temos uma equação diferencial chamada de Laplace, que é $ u_{xx} + u_{yy} = 0 $. O objetivo é encontrar a função $ u(x, y) $ que satisfaz as condições dadas nas bordas do retângulo formado por $ x = 0 $, $ x = a $, $ y = 0 $ e $ y = b $. Vamos usar o método de separação de variáveis, que ajuda a quebrar a equação em partes mais simples para resolver.

Passo 2

Primeiro, assumimos que a solução pode ser escrita como o produto de duas funções, uma que depende só de $ x $ e outra que depende só de $ y $:
x

Passo 3

Vamos substituir $ u(x, y) = X(x) Y(y) $ na equação de Laplace:
u(x, y) = X(x) Y(y)
Dividindo ambos os lados por $ X(x) Y(y) $:
X''(x) Y(y) + X(x) Y''(y) = 0
Isso nos leva a:
X(x) Y(y)
onde $ \lambda $ é uma constante de separação.

Passo 4

Agora, temos duas equações ordinárias:
  1. Para $ X(x) $:
X(x)
  1. Para $ Y(y) $:
X''(x) - lambda X(x) = 0

Passo 5

Considerando as condições de contorno $ u(x, 0) = 0 $ e $ u(x, b) = 0 $, vamos resolver para $ Y(y) $. A solução geral para $ Y(y) $ que satisfaz essas condições é:
u(x, 0) = 0
onde $ n $ é um número inteiro positivo.

Passo 6

Com essa escolha de $ Y_n(y) $, o valor de $ \lambda $ fica:
Yn(y)

Passo 7

Agora resolvemos a equação para $ X_n(x) $:
Xn(x)
A solução geral dessa equação é:
Xn''(x) - (npib)^2 Xn(x) = 0

Passo 8

Aplicamos as condições de contorno $ u(0, y) = 0 $ e $ u(a, y) = y $:
Para $ x = 0 $:
u(0, y) = 0
Então,
u(a, y) = y
Para $ x = a $:
x = 0

Passo 9

Agora, precisamos encontrar os coeficientes $ A_n $ usando a expansão em série de Fourier da função $ y $ sobre o intervalo $ [0, b] $:
An
Multiplicando ambos os lados por $ \sin\left(\frac{m\pi y}{b}\right) $ e integrando de 0 a $ b $, aplicamos a ortogonalidade das funções seno para encontrar $ A_n $:
y

Passo 10

Calculando a integral, obtemos:
An = 2npi [ (-1)^n+1 b ]
Simplificando,
An = 2b (-1)^n+1npi sinh(npi ab)

Resposta

A solução da equação dada pelo método de separação de variáveis é:
u(x, y) = sumn=1^infty 2b (-1)^n+1npi sinh(npi ab) sinh(npi xb) sin(npi yb)

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