Mostre que
não tem transformada de Laplace.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrar que a função $ f(t) = e{t{2}} $ não tem transformada de Laplace. A transformada de Laplace é uma ferramenta usada em matemática e engenharia para transformar funções do tempo $ t $ para o domínio da frequência $ s $. Para resolver isso, vamos precisar entender a definição da transformada de Laplace e analisar se a integral que a define converge ou não para essa função.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a definição da transformada de Laplace. Ela é dada por:
Aqui, $ s $ é uma variável complexa e a integral vai de 0 até o infinito.
Passo 3
Agora, vamos substituir a função $ f(t) = e{t{2}} $ na definição da transformada de Laplace:
Isso simplifica para uma única função exponencial no integrando.
Passo 4
Vamos analisar o comportamento do integrando $ e{t{2} - st} $ quando $ t $ fica muito grande (isto é, tende ao infinito). Para grandes valores de $ t $, o termo $ t^{2} $ domina sobre $ st $, então a expressão $ t^{2} - st $ se comporta aproximadamente como $ t^{2} $. Assim, o integrando se comporta como $ e{t{2}} $, que cresce muito rapidamente à medida que $ t $ aumenta.
Passo 5
Como o integrando $ e{t{2}} $ cresce de forma exponencialmente rápida, a integral:
não converge; ou seja, ela tende ao infinito. Uma transformada de Laplace existe apenas se essa integral convergir para algum valor finito.
Resposta
Portanto, como a integral que define a transformada de Laplace de $ f(t) = e{t{2}} $ não converge, concluímos que $ f(t) = e{t{2}} $ não tem transformada de Laplace.