(*) Mostre que se
, então
Utilize este resultado para derivar as funções a seguir:
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- Mostrar que, se
, então
- Usar esse resultado para derivar a função
.
Informações dadas / condições importantes:
- A função é dada por
. - Para usar
precisamos que (ou pelo menos que seja não nula e trabalhemos com logaritmo complexo, mas aqui assumimos ). - Não foi dado nada mais; portanto devemos provar a fórmula de forma geral e, em seguida, aplicá-la ao caso
e .
Passo 2
Ideia do método (aula rápida e por que funciona): usar diferenciação logarítmica.
Explicação do método:
- Quando a incógnita aparece tanto na base quanto no expoente, a técnica prática é tomar logaritmo natural dos dois lados porque o log transforma potência em produto, o que facilita o uso das regras de derivação.
- Regras usadas:
- Derivada do logaritmo composto: se
é diferenciável e , então . Essa é a aplicação da regra da cadeia ao . - Regra do produto: se
e são diferenciáveis, . - Regra da cadeia: já usada implicitamente acima.
- Derivada do logaritmo composto: se
- Vamos aplicar essas regras passo a passo.
Passo 3
Tomar logaritmo natural de
. Começando por
aplicando
em ambos os lados obtemos (isso é legal porque assumimos
, logo
)
O logaritmo transforma potência em produto, então
Passo 4
Diferenciar ambos os lados em relação a
. No lado esquerdo usamos regra da cadeia para
; no direito usamos regra do produto:
- Derivada do lado esquerdo:
(Explicando: a derivada de
é
. Aqui
.)
- Derivada do lado direito:
E
Juntando,
Passo 5
Isolar
multiplicando ambos os lados por
. Lembrando que
, temos
Substituindo
de volta:
Pronto — essa é exatamente a fórmula pedida. Observação: tudo isto exige
para o uso de
.
Passo 6
Aplicar a fórmula ao caso
.
Identificação:
Calcular as derivadas necessárias:
Substituindo na fórmula geral:
Interpretação rápida: para base constante
vale
; aqui
.