(*) Mostre que se f(x)=g(x)^{h(x)}, então
f^{\prime}(x)=g(x)^{h(x)} \cdot\left[h^{\prime}(x) \cdot \ln g(x)+\frac{h(x) \cdot g^{\prime}(x)}{g(x)}\right]
Utilize este resultado para derivar as funções a seguir:
f(x)=3^{x}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • Mostrar que, se f(x)=g(x)^{h(x)}, então
f^{\prime}(x)=g(x)^{h(x)}\cdot\left[h^{\prime}(x)\cdot\ln g(x)+\frac{h(x)\cdot g^{\prime}(x)}{g(x)}\right].
  • Usar esse resultado para derivar a função f(x)=3^{x}.
Informações dadas / condições importantes:
  • A função é dada por f(x)=g(x)^{h(x)}.
  • Para usar \ln g(x) precisamos que g(x)>0 (ou pelo menos que g(x) seja não nula e trabalhemos com logaritmo complexo, mas aqui assumimos g(x)>0).
  • Não foi dado nada mais; portanto devemos provar a fórmula de forma geral e, em seguida, aplicá-la ao caso g(x)=3 e h(x)=x.

Passo 2

Ideia do método (aula rápida e por que funciona): usar diferenciação logarítmica.
Explicação do método:
  • Quando a incógnita aparece tanto na base quanto no expoente, a técnica prática é tomar logaritmo natural dos dois lados porque o log transforma potência em produto, o que facilita o uso das regras de derivação.
  • Regras usadas:
    • Derivada do logaritmo composto: se u(x) é diferenciável e u(x)>0, então \dfrac{d}{dx}\big(\ln u(x)\big)=\dfrac{u^{\prime}(x)}{u(x)}. Essa é a aplicação da regra da cadeia ao \ln.
    • Regra do produto: se p(x) e q(x) são diferenciáveis, \dfrac{d}{dx}\big(p(x)q(x)\big)=p^{\prime}(x)q(x)+p(x)q^{\prime}(x).
    • Regra da cadeia: já usada implicitamente acima.
  • Vamos aplicar essas regras passo a passo.

Passo 3

Tomar logaritmo natural de f. Começando por
f(x)=g(x)^{h(x)},
aplicando \ln em ambos os lados obtemos (isso é legal porque assumimos g(x)>0, logo f(x)>0)
\ln f(x)=\ln\big(g(x)^{h(x)}\big).
O logaritmo transforma potência em produto, então
\ln f(x)=h(x)\cdot \ln g(x).

Passo 4

Diferenciar ambos os lados em relação a x. No lado esquerdo usamos regra da cadeia para \ln f(x); no direito usamos regra do produto:
  • Derivada do lado esquerdo:
\frac{d}{dx}\big(\ln f(x)\big)=\frac{f^{\prime}(x)}{f(x)}.
(Explicando: a derivada de \ln u é u'/u. Aqui u=f(x).)
  • Derivada do lado direito:
\frac{d}{dx}\big(h(x)\cdot \ln g(x)\big)=h^{\prime}(x)\cdot \ln g(x)+h(x)\cdot\frac{d}{dx}\big(\ln g(x)\big).
E
\frac{d}{dx}\big(\ln g(x)\big)=\frac{g^{\prime}(x)}{g(x)}.
Juntando,
\frac{f^{\prime}(x)}{f(x)}=h^{\prime}(x)\cdot \ln g(x)+h(x)\cdot\frac{g^{\prime}(x)}{g(x)}.

Passo 5

Isolar f^{\prime}(x) multiplicando ambos os lados por f(x). Lembrando que f(x)=g(x)^{h(x)}, temos
f^{\prime}(x)=f(x)\cdot\left[h^{\prime}(x)\cdot \ln g(x)+h(x)\cdot\frac{g^{\prime}(x)}{g(x)}\right].
Substituindo f(x)=g(x)^{h(x)} de volta:
f^{\prime}(x)=g(x)^{h(x)}\cdot\left[h^{\prime}(x)\cdot \ln g(x)+\frac{h(x)\cdot g^{\prime}(x)}{g(x)}\right].
Pronto — essa é exatamente a fórmula pedida. Observação: tudo isto exige g(x)>0 para o uso de \ln g(x).

Passo 6

Aplicar a fórmula ao caso f(x)=3^{x}.
Identificação:
g(x)=3,\qquad h(x)=x.
Calcular as derivadas necessárias:
g^{\prime}(x)=0,\qquad h^{\prime}(x)=1,\qquad \ln g(x)=\ln 3.
Substituindo na fórmula geral:
f^{\prime}(x)=3^{x}\cdot\left[1\cdot \ln 3+\frac{x\cdot 0}{3}\right]=3^{x}\cdot\ln 3.
Interpretação rápida: para base constante a>0 vale \dfrac{d}{dx}a^{x}=a^{x}\ln a; aqui a=3.

Resposta

f'(x)=3^{x}\ln 3

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