(*) Mostre que se
, então
Utilize este resultado para derivar as funções a seguir:
Passo 1
O enunciado pede duas coisas claras:
- Mostrar que, para
, vale
- Usar esse resultado para derivar a função
.
Informações / hipóteses que usamos (implícitas no enunciado):
- As funções
e são diferenciáveis onde estamos trabalhando. - Para usar
precisamos de no ponto/intervalo considerado (comentário sobre domínio será feito depois).
Passo 2
Ideia principal (log-diferenciação): quando a base e o expoente dependem de
, a maneira mais limpa é aplicar o logaritmo natural e diferenciar. Começamos escrevendo
Aplicando o logaritmo natural em ambos os lados (isso exige
):
Usando a propriedade do logaritmo
obtemos
Passo 3
Agora diferenciamos ambos os lados em relação a
. Do lado esquerdo usamos a regra da cadeia: a derivada de
é
. Explico isso rapidinho: se
então
— é a regra da cadeia com a derivada de
igual a
.
Do lado direito temos um produto
, então usamos a regra do produto: a derivada de
é
. Aplicando:
Agora a derivada de
é, novamente por regra da cadeia,
. Substituindo:
Passo 4
Isolamos
multiplicando ambos os lados por
. Lembrando que
, obtemos
Substituindo
volta à forma desejada:
Observação sobre domínio: essa dedução usa
, então requer
. Se
for negativa em pontos isolados, a fórmula pode ser adaptada para expoentes inteiros, mas a derivação via log só funciona diretamente quando
.
Passo 5
Agora aplicamos o resultado a
. Aqui identificamos
e
. Calculamos as derivadas simples:
Plugando na fórmula geral:
Simplificando
fica
Domínio: essa expressão foi obtida presumindo
(para usar
). Para
a função
é complicada e a fórmula não é válida em geral sem tratar casos específicos.
Passo 6
Comentário final e dica de prova: uma forma alternativa (equivalente) que muita gente usa é escrever
e então derivar
usando a regra da cadeia e produto, obtendo o mesmo resultado
. Memorize o resultado — é muito útil em provas rápidas.