(*) Mostre que se f(x)=g(x)^{h(x)}, então
f^{\prime}(x)=g(x)^{h(x)} \cdot\left[h^{\prime}(x) \cdot \ln g(x)+\frac{h(x) \cdot g^{\prime}(x)}{g(x)}\right]
Utilize este resultado para derivar as funções a seguir:
f(x)=x^{x}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas claras:
  • Mostrar que, para f(x)=g(x)^{h(x)}, vale
f^{\prime}(x)=g(x)^{h(x)}\cdot\left[h^{\prime}(x)\cdot\ln g(x)+\frac{h(x)\cdot g^{\prime}(x)}{g(x)}\right].
  • Usar esse resultado para derivar a função f(x)=x^{x}.
Informações / hipóteses que usamos (implícitas no enunciado):
  • As funções g e h são diferenciáveis onde estamos trabalhando.
  • Para usar \ln g(x) precisamos de g(x)>0 no ponto/intervalo considerado (comentário sobre domínio será feito depois).

Passo 2

Ideia principal (log-diferenciação): quando a base e o expoente dependem de x, a maneira mais limpa é aplicar o logaritmo natural e diferenciar. Começamos escrevendo
f(x)=g(x)^{h(x)}.
Aplicando o logaritmo natural em ambos os lados (isso exige g(x)>0):
\ln f(x)=\ln\big(g(x)^{h(x)}\big).
Usando a propriedade do logaritmo \ln(a^{b})=b\ln a obtemos
\ln f(x)=h(x)\cdot\ln g(x).

Passo 3

Agora diferenciamos ambos os lados em relação a x. Do lado esquerdo usamos a regra da cadeia: a derivada de \ln f(x) é \dfrac{f'(x)}{f(x)}. Explico isso rapidinho: se u(x)=f(x) então \dfrac{d}{dx}\ln u = \dfrac{1}{u}\cdot u' — é a regra da cadeia com a derivada de \ln u igual a 1/u.
Do lado direito temos um produto h(x)\cdot\ln g(x), então usamos a regra do produto: a derivada de u(x)v(x) é u'(x)v(x)+u(x)v'(x). Aplicando:
\frac{f'(x)}{f(x)} = h'(x)\cdot\ln g(x) + h(x)\cdot\frac{d}{dx}\big(\ln g(x)\big).
Agora a derivada de \ln g(x) é, novamente por regra da cadeia, \dfrac{g'(x)}{g(x)}. Substituindo:
\frac{f'(x)}{f(x)} = h'(x)\cdot\ln g(x) + h(x)\cdot\frac{g'(x)}{g(x)}.

Passo 4

Isolamos f'(x) multiplicando ambos os lados por f(x). Lembrando que f(x)=g(x)^{h(x)}, obtemos
f'(x) = f(x)\cdot\left[h'(x)\cdot\ln g(x) + h(x)\cdot\frac{g'(x)}{g(x)}\right].
Substituindo f(x)=g(x)^{h(x)} volta à forma desejada:
f^{\prime}(x)=g(x)^{h(x)}\cdot\left[h^{\prime}(x)\cdot\ln g(x)+\frac{h(x)\cdot g^{\prime}(x)}{g(x)}\right].
Observação sobre domínio: essa dedução usa \ln g(x), então requer g(x)>0. Se g for negativa em pontos isolados, a fórmula pode ser adaptada para expoentes inteiros, mas a derivação via log só funciona diretamente quando g>0.

Passo 5

Agora aplicamos o resultado a f(x)=x^{x}. Aqui identificamos g(x)=x e h(x)=x. Calculamos as derivadas simples:
g'(x)=1,\qquad h'(x)=1.
Plugando na fórmula geral:
f'(x)=x^{x}\cdot\left[1\cdot\ln x + x\cdot\frac{1}{x}\right].
Simplificando x\cdot\frac{1}{x}=1 fica
f'(x)=x^{x}\cdot\big(\ln x + 1\big).
Domínio: essa expressão foi obtida presumindo x>0 (para usar \ln x). Para x\le 0 a função x^{x} é complicada e a fórmula não é válida em geral sem tratar casos específicos.

Passo 6

Comentário final e dica de prova: uma forma alternativa (equivalente) que muita gente usa é escrever x^{x}=\mathrm{e}^{x\ln x} e então derivar \mathrm{e}^{x\ln x} usando a regra da cadeia e produto, obtendo o mesmo resultado x^{x}(\ln x+1). Memorize o resultado — é muito útil em provas rápidas.

Resposta

f^{\prime}(x)=g(x)^{h(x)}\cdot\left[h^{\prime}(x)\cdot\ln g(x)+\frac{h(x)\cdot g^{\prime}(x)}{g(x)}\right]
\frac{d}{dx}x^{x}=x^{x}\big(\ln x+1\big)\quad\text{(para }x>0\text{)}

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