Encontre a equação da reta tangente ao gráfico da função f(x)=(\sin x+\cos x)^{2} no ponto de abscissa x=\pi.

Passo 1

O enunciado nos dá a função f(x)=(\sin x+\cos x)^{2} e pede a equação da reta tangente ao gráfico dessa função no ponto de abscissa x=\pi.
Informações relevantes e o que precisamos calcular:
  • A reta tangente em x=a passa pelo ponto \bigl(a,f(a)\bigr) e tem coeficiente angular igual a f'(a).
  • Portanto precisamos de duas coisas:
    • o valor f(\pi) (para obter o ponto),
    • o valor f'(\pi) (para obter a inclinação da reta).

Passo 2

Primeiro vamos simplificar a função para facilitar a derivação. Expandindo o quadrado e usando identidades trigonométricas conhecidas:
f(x)=(\sin x+\cos x)^{2}=\sin^{2}x+2\sin x\cos x+\cos^{2}x.
Agora usar duas identidades:
\sin^{2}x+\cos^{2}x=1, \qquad 2\sin x\cos x=\sin(2x).
Substituindo:
f(x)=1+\sin(2x).

Passo 3

Lembrete útil (fórmula da reta tangente): a equação da reta tangente à curva y=f(x) no ponto x=a é dada por
y=f(a)+f'(a)\,(x-a).
Aqui f(a) é a ordenada do ponto de tangência e f'(a) é o coeficiente angular (a inclinação) da reta.

Passo 4

Agora vamos calcular a derivada f'(x). Usamos a regra da cadeia para derivar \sin(2x): se g(x)=\sin(u(x)) então g'(x)=\cos(u(x))\cdot u'(x). Aplicando com u(x)=2x (logo u'(x)=2):
f(x)=1+\sin(2x)\quad\Rightarrow\quad f'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(1\bigr)+\frac{d}{dx}\bigl(\sin(2x)\bigr)=0+\cos(2x)\cdot 2.
Portanto
f'(x)=2\cos(2x).

Passo 5

Calcular f(\pi). Usando a forma simplificada:
f(\pi)=1+\sin(2\pi).
Sabendo que \sin(2\pi)=0, obtemos
f(\pi)=1.
(Como verificação alternativa, da forma original: \sin\pi=0, \cos\pi=-1, então (0+(-1))^{2}=1, compatível.)

Passo 6

Calcular f'(\pi) substituindo em f'(x)=2\cos(2x):
f'(\pi)=2\cos(2\pi).
Como \cos(2\pi)=1, segue
f'(\pi)=2.

Passo 7

Agora montamos a equação da reta tangente usando a fórmula do Passo 3 com a=\pi, f(\pi)=1 e f'(\pi)=2:
y=1+2\,(x-\pi).
Podemos expandir para a forma mais comum:
y=1+2x-2\pi=2x+(1-2\pi).

Passo 8

Checagem rápida: para x=\pi a reta dá y=1, que coincide com f(\pi); o coeficiente angular é 2, que coincide com f'(\pi). Tudo consistente.

Resposta

y=1+2(x-\pi)=2x+(1-2\pi)

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