Encontre a equação da reta tangente ao gráfico da função
no ponto de abscissa
.
Passo 1
O enunciado nos dá a função
e pede a equação da reta tangente ao gráfico dessa função no ponto de abscissa
.
Informações relevantes e o que precisamos calcular:
- A reta tangente em
passa pelo ponto e tem coeficiente angular igual a . - Portanto precisamos de duas coisas:
- o valor
(para obter o ponto), - o valor
(para obter a inclinação da reta).
- o valor
Passo 2
Primeiro vamos simplificar a função para facilitar a derivação. Expandindo o quadrado e usando identidades trigonométricas conhecidas:
Agora usar duas identidades:
Substituindo:
Passo 3
Lembrete útil (fórmula da reta tangente): a equação da reta tangente à curva
no ponto
é dada por
Aqui
é a ordenada do ponto de tangência e
é o coeficiente angular (a inclinação) da reta.
Passo 4
Agora vamos calcular a derivada
. Usamos a regra da cadeia para derivar
: se
então
. Aplicando com
(logo
):
Portanto
Passo 5
Calcular
. Usando a forma simplificada:
Sabendo que
, obtemos
(Como verificação alternativa, da forma original:
,
, então
, compatível.)
Passo 6
Calcular
substituindo em
:
Como
, segue
Passo 7
Agora montamos a equação da reta tangente usando a fórmula do Passo 3 com
,
e
:
Podemos expandir para a forma mais comum:
Passo 8
Checagem rápida: para
a reta dá
, que coincide com
; o coeficiente angular é
, que coincide com
. Tudo consistente.