Mostre que
, definida para
, é invertível e calcule
.
Resp.:
.
Resp.:
Passo 1
O enunciado nos dá a função
definida por
com domínio
. As duas tarefas pedidas são:
- mostrar que
é invertível (ou seja, injetora numa vez que o domínio é dado); - calcular
.
Informações relevantes que temos prontas para usar:
- a função
(arctangente) é diferenciável em toda reta real e satisfaz fórmulas conhecidas para sua derivada; - a composição de funções diferenciáveis é diferenciável e sua derivada é dada pela regra da cadeia;
- para encontrar a derivada da inversa num ponto usa-se a fórmula
, válida quando .
Passo 2
Vou calcular a derivada
para estudar monotonicidade (isto vai ajudar a provar invertibilidade). Para isso uso a regra da cadeia: se
com
, então a derivada de
é composta pela derivada de
em
multiplicada por
.
Lembrete/mini-aula sobre a derivada da arctangente e a regra da cadeia:
- A derivada de
em relação a é
Aqui
é a variável de entrada da arctangente.
- A regra da cadeia diz que, se
, então
Aqui
é a função interna e
a externa.
Aplicando ao nosso caso:
tem derivada
. Portanto
Passo 3
Agora analiso o sinal de
para
. No numerador temos
, que é estritamente positivo para todo
. No denominador temos
, que é sempre estritamente positivo para todo
(soma de
com um quadrado).
Logo, para todo
,
Uma função com derivada estritamente positiva em todo o domínio é estritamente crescente. Portanto
é estritamente crescente em
, o que implica que
é injetora nesse domínio. Como é injetora,
tem inversa definida sobre a imagem
. Assim mostramos que
é invertível (sobre sua imagem).
Além disso, como
é contínua e não nula no ponto que vamos usar, podemos aplicar a fórmula da derivada da inversa nesse ponto.
Passo 4
Para calcular
preciso saber qual
satisfaz
. Então resolvo
Aplico a tangente dos dois lados (a tangente é a função inversa da arctangente no intervalo
), obtendo
Como
, segue
Considerando o domínio
, selecionamos a raiz positiva:
Portanto
.
Passo 5
Vou avaliar
no ponto
usando a fórmula obtida no Passo 2:
Substituindo
:
logo
Passo 6
Agora uso a fórmula da derivada da inversa, que se obtém diferenciando a identidade
e aplicando a regra da cadeia. A dedução rápida é:
portanto, sempre que
,
Aplicando isso ao nosso caso com
e lembrando que
e
, temos