Seja
. (a) Em que conjunto a função admite inversa?
(b) Determine
.
Resp.: (a)
. (b)
.
(b) Determine
Passo 1
O enunciado dá a função
definida por
São feitas duas perguntas:
- (a) Em que conjunto (ou seja, para que conjunto de valores) a função admite inversa?
- (b) Calcular
.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado: a expressão explícita de
para todo
. Não há outras restrições dadas sobre domínio ou imagem.
Passo 2
Queremos saber se
admite inversa em
. Para que uma função tenha inversa em
(isto é, seja inversível como
), precisamos que ela seja bijetora: injetora e sobrejetora. Vou primeiro verificar injetividade mostrando que
é estritamente crescente em
.
Calculemos a derivada de
. A regra de derivação para potências nos dá:
Agora analiso o sinal de
. Note que
e
para todo
, então os termos
e
são não negativos. Há ainda o termo constante
. Portanto, para todo
,
Como a derivada é estritamente positiva em todo
, a função
é estritamente crescente em
. Uma função estritamente crescente é injetora (valores diferentes de
dão imagens diferentes).
Passo 3
Agora verifico a sobrejetividade (que a imagem de
seja todo
).
é um polinômio de grau ímpar (grau
) com coeficiente principal positivo, logo
Como
é contínua (polinômio) e tende a
e
nas extremidades, pelo Teorema do Valor Intermediário sua imagem é todo
. Logo
é sobrejetora.
Com injetividade e sobrejetividade,
é bijetora de
sobre
e, portanto, admite inversa definida em todo
.
Passo 4
Agora a parte (b): calcular
.
Lembrete teórico útil (e fácil de aplicar): se
é diferenciável e invertível num ponto
e
, então a derivada da inversa em
é dada pela regra da derivada da inversa:
onde
. Essa fórmula vem do fato que
; diferenciando ambos os lados em relação a
e usando a regra da cadeia obtém-se
daí a fórmula acima. Aqui
deve ser diferente de zero (o que já temos, pois
).
Passo 5
Aplicando ao nosso caso: queremos
. Precisamos achar
tal que
, isto é, resolver
Testando
(dica prática: em provas, sempre verifique inteiros pequenos),
Portanto
é a pré-imagem de
:
, logo
.
Agora aplico a fórmula da derivada da inversa:
Calculo
usando
:
Logo
Passo 6
Resumo rápido e motivador: a chave foi mostrar que
para todo
, o que garante injetividade; os limites em
e continuidade garantem sobrejetividade; para a derivada da inversa, use a identidade obtida diferenciando
. No exame, lembrar de tentar valores simples (como
) para achar pré-imagens de forma rápida.
Resposta
(a)
.
(b) .
(b)