Seja f(x)=x^{5}+x^{3}+3 x. (a) Em que conjunto a função admite inversa?
(b) Determine \left(f^{-1}\right)^{\prime}(5).
Resp.: (a) \mathbb{R}. (b) \left(f^{-1}\right)^{\prime}(5)=\frac{1}{11}.

Passo 1

O enunciado dá a função f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} definida por
f(x)=x^{5}+x^{3}+3x.
São feitas duas perguntas:
  • (a) Em que conjunto (ou seja, para que conjunto de valores) a função admite inversa?
  • (b) Calcular \left(f^{-1}\right)^{\prime}(5).
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado: a expressão explícita de f(x) para todo x\in\mathbb{R}. Não há outras restrições dadas sobre domínio ou imagem.

Passo 2

Queremos saber se f admite inversa em \mathbb{R}. Para que uma função tenha inversa em \mathbb{R} (isto é, seja inversível como f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}), precisamos que ela seja bijetora: injetora e sobrejetora. Vou primeiro verificar injetividade mostrando que f é estritamente crescente em \mathbb{R}.
Calculemos a derivada de f. A regra de derivação para potências nos dá:
f'(x)=5x^{4}+3x^{2}+3.
Agora analiso o sinal de f'(x). Note que x^{4}\ge 0 e x^{2}\ge 0 para todo x\in\mathbb{R}, então os termos 5x^{4} e 3x^{2} são não negativos. Há ainda o termo constante +3. Portanto, para todo x\in\mathbb{R},
f'(x)=5x^{4}+3x^{2}+3 \ge 3>0.
Como a derivada é estritamente positiva em todo \mathbb{R}, a função f é estritamente crescente em \mathbb{R}. Uma função estritamente crescente é injetora (valores diferentes de x dão imagens diferentes).

Passo 3

Agora verifico a sobrejetividade (que a imagem de f seja todo \mathbb{R}). f é um polinômio de grau ímpar (grau 5) com coeficiente principal positivo, logo
\lim_{x\to-\infty} f(x) = -\infty \qquad\text{e}\qquad \lim_{x\to+\infty} f(x) = +\infty.
Como f é contínua (polinômio) e tende a -\infty e +\infty nas extremidades, pelo Teorema do Valor Intermediário sua imagem é todo \mathbb{R}. Logo f é sobrejetora.
Com injetividade e sobrejetividade, f é bijetora de \mathbb{R} sobre \mathbb{R} e, portanto, admite inversa definida em todo \mathbb{R}.

Passo 4

Agora a parte (b): calcular \left(f^{-1}\right)^{\prime}(5).
Lembrete teórico útil (e fácil de aplicar): se f é diferenciável e invertível num ponto x e y=f(x), então a derivada da inversa em y é dada pela regra da derivada da inversa:
\left(f^{-1}\right)'(y)=\frac{1}{f'(x)},
onde x=f^{-1}(y). Essa fórmula vem do fato que f(f^{-1}(y))=y; diferenciando ambos os lados em relação a y e usando a regra da cadeia obtém-se
f'\big(f^{-1}(y)\big)\cdot\left(f^{-1}\right)'(y)=1,
daí a fórmula acima. Aqui f'(x) deve ser diferente de zero (o que já temos, pois f'(x)\ge 3).

Passo 5

Aplicando ao nosso caso: queremos \left(f^{-1}\right)^{\prime}(5). Precisamos achar x tal que f(x)=5, isto é, resolver
x^{5}+x^{3}+3x=5.
Testando x=1 (dica prática: em provas, sempre verifique inteiros pequenos),
f(1)=1^{5}+1^{3}+3\cdot 1=1+1+3=5.
Portanto x=1 é a pré-imagem de 5: f(1)=5, logo f^{-1}(5)=1.
Agora aplico a fórmula da derivada da inversa:
\left(f^{-1}\right)'(5)=\frac{1}{f'(1)}.
Calculo f'(1) usando f'(x)=5x^{4}+3x^{2}+3:
f'(1)=5\cdot 1^{4}+3\cdot 1^{2}+3=5+3+3=11.
Logo
\left(f^{-1}\right)'(5)=\frac{1}{11}.

Passo 6

Resumo rápido e motivador: a chave foi mostrar que f'(x)>0 para todo x, o que garante injetividade; os limites em \pm\infty e continuidade garantem sobrejetividade; para a derivada da inversa, use a identidade obtida diferenciando f(f^{-1}(y))=y. No exame, lembrar de tentar valores simples (como x=1) para achar pré-imagens de forma rápida.

Resposta

(a) \mathbb{R}.
(b) \left(f^{-1}\right)^{\prime}(5)=\dfrac{1}{11}.

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