Determine a equação da reta tangente ao gráfico de uma função f no ponto ( 2, f(2) ), sabendo que f(2)=7 e que \left(f^{-1}\right)^{\prime}(7)=8.
Resp.: y=\frac{1}{8} x+\frac{27}{4}.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
  • Dados fornecidos:
    • f(2)=7.
    • \left(f^{-1}\right)^{\prime}(7)=8.
  • O que o enunciado pede:
    • Determinar a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto (2,f(2)), ou seja, a reta tangente em (2,7).

Passo 2

Entender a relação entre a derivada de uma função e a derivada da sua inversa (sem pular etapas).
Se g for a inversa de f, então g=f^{-1} e vale a identidade
f\bigl(g(y)\bigr)=y
para todo y no domínio de g. Essa identidade diz que aplicar g e em seguida f traz de volta y. Agora vamos diferenciar essa identidade em relação a y para relacionar as derivadas.

Passo 3

Aplicar a regra da cadeia para diferenciar f\bigl(g(y)\bigr)=y.
A regra da cadeia diz que, se uma função h é composição h(y)=f(g(y)), então
h'(y)=f'\bigl(g(y)\bigr)\cdot g'(y).
Aplicando isso à identidade f(g(y))=y, obtém-se
f'\bigl(g(y)\bigr)\cdot g'(y)=1,
já que a derivada de y em relação a y é 1. Isolando g'(y) (isto é, \left(f^{-1}\right)'(y)) chega-se à fórmula conhecida:
\left(f^{-1}\right)'(y)=\frac{1}{f'\bigl(f^{-1}(y)\bigr)}.

Passo 4

Aplicar a fórmula da derivada da inversa ao ponto dado.
Aqui y=7 e f^{-1}(7)=2 (porque f(2)=7, informação fornecida). Então a fórmula diz
\left(f^{-1}\right)'(7)=\frac{1}{f'(2)}.
Como nos foi dado que \left(f^{-1}\right)'(7)=8, temos
8=\frac{1}{f'(2)}.
Portanto
f'(2)=\frac{1}{8}.
Isto significa que a inclinação (o coeficiente angular) da reta tangente a f no ponto (2,7) é m=\dfrac{1}{8}.

Passo 5

Lembrar a fórmula da equação da reta tangente (fórmula ponto-inclinação).
A equação da reta tangente a uma curva num ponto (x_0,y_0) com inclinação m é dada pela forma ponto-inclinação:
y-y_0=m(x-x_0).
No nosso caso x_0=2, y_0=7 e m=\dfrac{1}{8}. Substituindo:
y-7=\frac{1}{8}(x-2).

Passo 6

Colocar a equação na forma y=mx+b (isolando y) e simplificar passo a passo.
Começando de
y-7=\frac{1}{8}(x-2),
expandindo o lado direito:
y-7=\frac{1}{8}x-\frac{1}{8}\cdot 2.
Calcule \dfrac{1}{8}\cdot 2=\dfrac{2}{8}=\dfrac{1}{4}. Então
y-7=\frac{1}{8}x-\frac{1}{4}.
Somando 7 em ambos os lados:
y=\frac{1}{8}x-\frac{1}{4}+7.
Escrever 7 como fração com denominador 4: 7=\dfrac{28}{4}. Assim
y=\frac{1}{8}x+\left(-\frac{1}{4}+\frac{28}{4}\right)=\frac{1}{8}x+\frac{27}{4}.

Resposta

y=\frac{1}{8}x+\frac{27}{4}

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