Determine a equação da reta tangente ao gráfico de uma função
no ponto (
), sabendo que
e que
.
Resp.:
.
Resp.:
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
-
Dados fornecidos:
-
. -
.
-
-
O que o enunciado pede:
- Determinar a equação da reta tangente ao gráfico de
no ponto , ou seja, a reta tangente em .
- Determinar a equação da reta tangente ao gráfico de
Passo 2
Entender a relação entre a derivada de uma função e a derivada da sua inversa (sem pular etapas).
Se
for a inversa de
, então
e vale a identidade
para todo
no domínio de
. Essa identidade diz que aplicar
e em seguida
traz de volta
. Agora vamos diferenciar essa identidade em relação a
para relacionar as derivadas.
Passo 3
Aplicar a regra da cadeia para diferenciar
.
A regra da cadeia diz que, se uma função
é composição
, então
Aplicando isso à identidade
, obtém-se
já que a derivada de
em relação a
é
. Isolando
(isto é,
) chega-se à fórmula conhecida:
Passo 4
Aplicar a fórmula da derivada da inversa ao ponto dado.
Aqui
e
(porque
, informação fornecida). Então a fórmula diz
Como nos foi dado que
, temos
Portanto
Isto significa que a inclinação (o coeficiente angular) da reta tangente a
no ponto
é
.
Passo 5
Lembrar a fórmula da equação da reta tangente (fórmula ponto-inclinação).
A equação da reta tangente a uma curva num ponto
com inclinação
é dada pela forma ponto-inclinação:
No nosso caso
,
e
. Substituindo:
Passo 6
Colocar a equação na forma
(isolando
) e simplificar passo a passo.
Começando de
expandindo o lado direito:
Calcule
. Então
Somando
em ambos os lados:
Escrever
como fração com denominador
:
. Assim