Seja
, definida para
. (a) Mostre que
é invertível. (b) Calcule
. (c) Encontre a equação da reta tangente ao gráfico de
. (b)
. (c)
.
Passo 1
O enunciado dá a função
definida para
.\n
As perguntas são:
As perguntas são:
- (a) Mostrar que
é invertível. - (b) Calcular
. - (c) Encontrar a equação da reta tangente ao gráfico de
em .
Informações relevantes fornecidas:
- Domínio:
. - A função é dada explicitamente por
.
Passo 2
Entender o que significa “invertível” e como provar: uma função é invertível se for bijetora (injeção + sobrejeção) entre domínio e imagem. Um caminho prático para funções diferenciáveis é mostrar que ela é estritamente monotônica (então é injetora) e que sua imagem é todo
(então é sobrejetora para
). Vou mostrar monotonicidade usando a derivada.
Calcule a derivada de
:
Para
temos
, então
Como a derivada é positiva em todo o domínio,
é estritamente crescente em
. Logo
é injetora.
Passo 3
Agora verificar a imagem (para concluir sobrejetividade em
). Calcule limites nas extremidades do domínio para ver até onde a função vai:
porque
quando
.
A função é contínua (soma de
e
) e estritamente crescente, com limites
e
nas extremidades. Portanto a imagem de
é todo
. Conclusão:
é bijetora de
em
, logo é invertível.
Passo 4
Para calcular
preciso do ponto onde
, ou seja, resolver
Testando
(sempre bom testar candidatos simples):
logo
é solução. Como
é injetora, essa é a única solução. Portanto
Passo 5
Agora a fórmula para a derivada da inversa e sua dedução rápida (aula curtinha): se
então
. Diferenciando ambos os lados em relação a
e usando a regra da cadeia,
Invertendo, obtemos a fórmula geral
Isso significa: para achar a derivada da função inversa em
, avalia-se a derivada de
no ponto
e toma-se o inverso.
Passo 6
Aplique a fórmula ao nosso caso com
. Já sabemos que
. Então primeiro calcule
(já calculado no Passo 2):
Logo
Pela fórmula da inversa,
Passo 7
Agora encontramos a equação da reta tangente ao gráfico de
no ponto
. Para gráficos de
, o ponto é
(porque
), e a inclinação
é
.
Usamos a forma ponto-inclinação da reta:
com
e
. Assim
Multiplicando ambos os lados por
:
Rearranjando para colocar tudo no mesmo lado:
Resposta
(a)
é invertível (estritamente crescente e imagem
).
(b) .
(c) .
(b)
(c)