Seja f(x)=x+\ln x, definida para x>0. (a) Mostre que f é invertível. (b) Calcule \left(f^{-1}\right)^{\prime}(1). (c) Encontre a equação da reta tangente ao gráfico de f^{-1} \mathrm{em}\left(1, f^{-1}(1)\right). (b) \left(f^{-1}\right)^{\prime}(1)=\frac{1}{2}. (c) 2 y-x-1=0.

Passo 1

O enunciado dá a função \,f(x)=x+\ln x\,, definida para \,x>0.\n
As perguntas são:
  • (a) Mostrar que \,f é invertível.
  • (b) Calcular \,\left(f^{-1}\right)^{\prime}(1).
  • (c) Encontrar a equação da reta tangente ao gráfico de f^{-1} em \,(1,f^{-1}(1)).
Informações relevantes fornecidas:
  • Domínio: \,x>0.
  • A função é dada explicitamente por \,f(x)=x+\ln x.

Passo 2

Entender o que significa “invertível” e como provar: uma função é invertível se for bijetora (injeção + sobrejeção) entre domínio e imagem. Um caminho prático para funções diferenciáveis é mostrar que ela é estritamente monotônica (então é injetora) e que sua imagem é todo \mathbb{R} (então é sobrejetora para \mathbb{R}). Vou mostrar monotonicidade usando a derivada.
Calcule a derivada de \,f:
f'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x+\ln x\bigr)=1+\frac{1}{x}.
Para \,x>0 temos \,\frac{1}{x}>0, então
f'(x)=1+\frac{1}{x}>0\quad\text{para todo }x>0.
Como a derivada é positiva em todo o domínio, \,f é estritamente crescente em (0,\infty). Logo \,f é injetora.

Passo 3

Agora verificar a imagem (para concluir sobrejetividade em \mathbb{R}). Calcule limites nas extremidades do domínio para ver até onde a função vai:
\lim_{x\to 0^+} f(x)=\lim_{x\to 0^+}\bigl(x+\ln x\bigr)=0+(-\infty)=-\infty,
porque \ln x\to -\infty quando x\to0^+.
\lim_{x\to \infty} f(x)=\lim_{x\to\infty}\bigl(x+\ln x\bigr)=\infty+\infty=\infty.
A função é contínua (soma de x e \ln x) e estritamente crescente, com limites -\infty e +\infty nas extremidades. Portanto a imagem de f é todo \mathbb{R}. Conclusão: \,f é bijetora de (0,\infty) em \mathbb{R}, logo é invertível.

Passo 4

Para calcular \left(f^{-1}\right)^{\prime}(1) preciso do ponto onde f(x)=1, ou seja, resolver
x+\ln x=1.
Testando x=1 (sempre bom testar candidatos simples):
1+\ln 1=1+0=1,
logo x=1 é solução. Como f é injetora, essa é a única solução. Portanto
f^{-1}(1)=1.

Passo 5

Agora a fórmula para a derivada da inversa e sua dedução rápida (aula curtinha): se y=f^{-1}(x) então f(y)=x. Diferenciando ambos os lados em relação a x e usando a regra da cadeia,
f'(y)\cdot \frac{dy}{dx}=1.
Invertendo, obtemos a fórmula geral
\left(f^{-1}\right)^{\prime}(x)=\frac{1}{f'\bigl(f^{-1}(x)\bigr)}.
Isso significa: para achar a derivada da função inversa em x=a, avalia-se a derivada de f no ponto f^{-1}(a) e toma-se o inverso.

Passo 6

Aplique a fórmula ao nosso caso com a=1. Já sabemos que f^{-1}(1)=1. Então primeiro calcule f'(x) (já calculado no Passo 2):
f'(x)=1+\frac{1}{x}.
Logo
f'(1)=1+\frac{1}{1}=2.
Pela fórmula da inversa,
\left(f^{-1}\right)^{\prime}(1)=\frac{1}{f'(1)}=\frac{1}{2}.

Passo 7

Agora encontramos a equação da reta tangente ao gráfico de f^{-1} no ponto \bigl(1,f^{-1}(1)\bigr). Para gráficos de y=f^{-1}(x), o ponto é \bigl(1,1\bigr) (porque f^{-1}(1)=1), e a inclinação m é m=\left(f^{-1}\right)^{\prime}(1)=\tfrac{1}{2}.
Usamos a forma ponto-inclinação da reta:
y-y_0=m(x-x_0),
com (x_0,y_0)=(1,1) e m=\tfrac{1}{2}. Assim
y-1=\tfrac{1}{2}(x-1).
Multiplicando ambos os lados por 2:
2y-2=x-1.
Rearranjando para colocar tudo no mesmo lado:
2y-x-1=0.

Resposta

(a) f é invertível (estritamente crescente e imagem \mathbb{R}).
(b) \left(f^{-1}\right)^{\prime}(1)=\dfrac{1}{2}.
(c) 2y-x-1=0.

Exercícios relacionados