Verifique que as funções dadas satisfazem à equação de Laplace em dimensão 3, partial^2 fpartial x^2+partial^2 fpartial y^2+partial^2 fpartial z^2=0
f(x, y, z)=e^3 x+4 y cdot cos (5 z)

Passo 1

Aqui a gente quer mostrar que a função f(x,y,z)=e^{3x+4y},cos(5z) satisfaz a equação de Laplace em 3D, ou seja, que fxx+fyy+fzz=0. Vamos usar cálculo de derivadas parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos achar as derivadas parciais de primeira ordem. Como e^3x+4y só depende de x e y e cos(5z) só de z, aplicamos produto e cadeia:
fx=partialpartial xl(e^3x+4ycos(5z)r)=3e^3x+4ycos(5z),
fy=4e^3x+4ycos(5z),
fz=e^3x+4ycdotl(-sin(5z)r)cdot5=-5e^3x+4ysin(5z)

Passo 3

Em seguida, calculamos as segundas derivadas. Para f_{xx} e f_{yy} repetimos a derivação de e^3x+4ycos(5z) em x e y respectivamente, e para f_{zz} derivamos novamente em z:
fxx=partialpartial x(3e^3x+4ycos(5z))=9e^3x+4ycos(5z),
fyy=partialpartial y(4e^3x+4ycos(5z))=16e^3x+4ycos(5z),
fzz=partialpartial z(-5e^3x+4ysin(5z))=-5e^3x+4ycdot(cos(5z)cdot5)=-25e^3x+4ycos(5z)

Passo 4

Por fim, somamos as três segundas derivadas:
fxx+fyy+fzz=9e^3x+4ycos(5z)+16e^3x+4ycos(5z)-25e^3x+4ycos(5z)=0
Isso mostra que f satisfaz a equação de Laplace.

Passo 5

Portanto, concluímos que f(x,y,z)=e^3x+4ycos(5z) é uma solução da equação de Laplace em três dimensões.

Resposta

A soma das segundas derivadas é zero, logo f satisfaz a equação de Laplace.

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