Verifique que as funções dadas satisfazem à equação de Laplace em dimensão
Passo 1
Aqui a gente quer mostrar que a função f(x,y,z)=e^{3x+4y},cos(5z) satisfaz a equação de Laplace em 3D, ou seja, que
. Vamos usar cálculo de derivadas parciais.
Passo 2
Primeiro, vamos achar as derivadas parciais de primeira ordem. Como
só depende de x e y e
só de z, aplicamos produto e cadeia:
Passo 3
Em seguida, calculamos as segundas derivadas. Para f_{xx} e f_{yy} repetimos a derivação de
em x e y respectivamente, e para f_{zz} derivamos novamente em z:
Passo 4
Por fim, somamos as três segundas derivadas:
Isso mostra que
satisfaz a equação de Laplace.
Passo 5
Portanto, concluímos que
é uma solução da equação de Laplace em três dimensões.
Resposta
A soma das segundas derivadas é zero, logo
satisfaz a equação de Laplace.