Mostre que se f(x, y) \quad tem um extremante local em (a, b), então necessariamente
\frac{\partial f}{\partial x}(a, b)=0 \quad e \quad \frac{\partial f}{\partial y}(a, b)=0.
f(x, y)=x^{3}-3 x+y^{2}.

Passo 1

O enunciado nos pede para mostrar que, se uma função de duas variáveis f(x,y) tem um extremo local em (a,b), então as derivadas parciais em (a,b) devem ser zero. Em seguida, vamos aplicar esse resultado à função
f(x,y)=x^{3}-3x+y^{2}.

Passo 2

Seja (a,b) ponto de extremo local de f. Considere a função de uma variável
g(h)=f(a+h,b).
Como (a,b) é extremo de f, o ponto h=0 é extremo de g. Pelo cálculo de uma variável, temos
g'(0)=0.
Mas
g'(0)=\lim_{h\to0}\frac{f(a+h,b)-f(a,b)}{h}=\frac{\partial f}{\partial x}(a,b).
Logo \partial f/\partial x(a,b)=0. Análogo para
h(k)=f(a,b+k),
deduzimos \partial f/\partial y(a,b)=0.

Passo 3

Agora, para f(x,y)=x^{3}-3x+y^{2}, calculamos
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=3x^{2}-3,
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=2y.

Passo 4

Igualando a zero as duas derivadas parciais, obtemos
3x^{2}-3=0\quad\Longrightarrow\quad x^{2}=1\quad\Longrightarrow\quad x=\pm1,
2y=0\quad\Longrightarrow\quad y=0.
Portanto, os pontos críticos são (1,0) e (-1,0).

Passo 5

Para classificar, calculamos as segundas derivadas:
f_{xx}(x,y)=6x,\quad f_{yy}(x,y)=2,\quad f_{xy}(x,y)=0.
Em (1,0):
D = f_{xx}f_{yy}-f_{xy}^{2}=6\cdot2-0=12>0,\quad f_{xx}(1,0)=6>0,
logo mínimo local. Em (-1,0):
D = (-6)\cdot2-0=-12<0,
logo ponto de sela.

Resposta

A condição necessária de extremo local é
\frac{\partial f}{\partial x}(a,b)=0 \quad\text{e}\quad \frac{\partial f}{\partial y}(a,b)=0.
Para f(x,y)=x^{3}-3x+y^{2}, os únicos pontos críticos são (1,0) e (-1,0), dos quais (1,0) é um mínimo local e (-1,0) é ponto de sela.

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