Mostre que se
tem um extremante local em
, então necessariamente
e
.
.
Passo 1
O enunciado nos pede para mostrar que, se uma função de duas variáveis
tem um extremo local em
, então as derivadas parciais em
devem ser zero. Em seguida, vamos aplicar esse resultado à função
Passo 2
Seja
ponto de extremo local de
. Considere a função de uma variável
Como
é extremo de
, o ponto
é extremo de
. Pelo cálculo de uma variável, temos
Mas
Logo
. Análogo para
deduzimos
.
Passo 3
Agora, para
, calculamos
Passo 4
Igualando a zero as duas derivadas parciais, obtemos
Portanto, os pontos críticos são
e
.
Passo 5
Para classificar, calculamos as segundas derivadas:
Em
:
logo mínimo local. Em
:
logo ponto de sela.
Resposta
A condição necessária de extremo local é
Para
, os únicos pontos críticos são
e
, dos quais
é um mínimo local e
é ponto de sela.