Calcule.
\int\left(4 x^{2}-8 x+1\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int\bigl(4x^{2}-8x+1\bigr)\,dx.
O conteúdo aqui é integração de polinômio, e vamos usar a linearidade da integral junto com a regra de potência:
\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}.

Passo 2

Pela linearidade, separamos a integral em três partes:
\int\bigl(4x^{2}-8x+1\bigr)\,dx = \int 4x^{2}\,dx \;-\;\int 8x\,dx \;+\;\int 1\,dx.

Passo 3

Aplicando a regra de potência e fatorando constantes:
\int 4x^{2}\,dx = 4\int x^{2}\,dx = 4\cdot\frac{x^{3}}{3} = \frac{4}{3}x^{3},
\int 8x\,dx = 8\int x\,dx = 8\cdot\frac{x^{2}}{2} = 4x^{2},
\int 1\,dx = x.

Passo 4

Somando os resultados e acrescentando a constante de integração C, temos
\frac{4}{3}x^{3} - 4x^{2} + x + C.

Resposta

\frac{4}{3}x^{3} - 4x^{2} + x + C.

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