1. Mostre que se f(x, y) verifica a relação 3 f_{x x}+4 f_{y y}=-1 em cada ponto de \mathbb{R}^{2}, então f naõ pode ter um mínimo local algum.

Passo 1

O enunciado dá a seguinte informação: a função f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R} é duas vezes diferenciável (pois aparecem as segundas derivadas) e satisfaz, em cada ponto de \mathbb{R}^2,
3\,f_{xx}+4\,f_{yy}=-1.
O que precisamos provar: mostrar que f não pode ter um mínimo local em nenhum ponto de \mathbb{R}^2. Em outras palavras, não existe (a,b)\in\mathbb{R}^2 tal que f atinge um mínimo local em (a,b).

Passo 2

Lembrete útil (fórmula/ideia que vamos usar): se uma função de uma variável g:\mathbb{R}\to\mathbb{R} é duas vezes diferenciável e tem um mínimo local em t=0, então a segunda derivada em zero satisfaz g''(0)\ge 0.
Explicação didática desse fato, passo a passo:
  • Ter um mínimo local em t=0 significa que existe \varepsilon>0 tal que g(t)\ge g(0) para todo t com |t|<\varepsilon.
  • Se g é duas vezes diferenciável em 0, a expansão de Taylor até a segunda ordem é
g(t)=g(0)+g'(0)t+\tfrac{1}{2}g''(0)t^2+o(t^2)\quad\text{quando }t\to0.
  • Como g(t)\ge g(0) para pequenos t, ao dividir pela pequena quantidade t^2>0 e deixar t\to0 obtém-se g''(0)\ge 0. (Intuição: se g''(0)<0 então para t suficientemente pequeno teríamos g(t)<g(0), contradizendo o mínimo.)
  • Observação rápida e útil: também g'(0)=0, mas o que nos interessa mesmo é g''(0)\ge0.

Passo 3

Agora aplique essa ideia a f em coordenadas separadas. Suponha, por contradição, que exista um mínimo local de f em (a,b).
Considere a função de uma variável
g_x(t)=f(a+t,b).
Como f tem mínimo local em (a,b), a função g_x tem mínimo local em t=0. Pelo resultado do passo anterior, como g_x é duas vezes diferenciável, temos
g_x''(0)=f_{xx}(a,b)\ge 0.
De modo análogo, considere
g_y(t)=f(a,b+t).
Também g_y tem mínimo local em t=0, logo
g_y''(0)=f_{yy}(a,b)\ge 0.
Portanto, em um ponto de mínimo local (a,b) necessariamente
f_{xx}(a,b)\ge 0\quad\text{e}\quad f_{yy}(a,b)\ge 0.

Passo 4

Combine as desigualdades obtidas: multiplicando por 3 e por 4 e somando, obtemos
3\,f_{xx}(a,b)+4\,f_{yy}(a,b)\ge 0.
Mas isso contradiz a hipótese do enunciado, que afirma que em todo ponto (em particular em (a,b))
3\,f_{xx}(a,b)+4\,f_{yy}(a,b)=-1.
Como -1<0, não pode ocorrer a desigualdade anterior. Assim chegamos a uma contradição.

Passo 5

Concluímos que a hipótese de existência de um mínimo local em qualquer ponto (a,b) leva a uma contradição com a relação dada. Portanto f não pode ter mínimo local em nenhum ponto de \mathbb{R}^2.

Resposta

Não existe (a,b)\in\mathbb{R}^2 que seja mínimo local de f; isto é, f não pode ter mínimo local algum.

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