- Mostre que se
verifica a relação
em cada ponto de
, então
naõ pode ter um mínimo local algum.
Passo 1
O enunciado dá a seguinte informação: a função
é duas vezes diferenciável (pois aparecem as segundas derivadas) e satisfaz, em cada ponto de
,
O que precisamos provar: mostrar que
não pode ter um mínimo local em nenhum ponto de
. Em outras palavras, não existe
tal que
atinge um mínimo local em
.
Passo 2
Lembrete útil (fórmula/ideia que vamos usar): se uma função de uma variável
é duas vezes diferenciável e tem um mínimo local em
, então a segunda derivada em zero satisfaz
.
Explicação didática desse fato, passo a passo:
- Ter um mínimo local em
significa que existe tal que para todo com . - Se
é duas vezes diferenciável em , a expansão de Taylor até a segunda ordem é
- Como
para pequenos , ao dividir pela pequena quantidade e deixar obtém-se . (Intuição: se então para suficientemente pequeno teríamos , contradizendo o mínimo.) - Observação rápida e útil: também
, mas o que nos interessa mesmo é .
Passo 3
Agora aplique essa ideia a
em coordenadas separadas. Suponha, por contradição, que exista um mínimo local de
em
.
Considere a função de uma variável
Como
tem mínimo local em
, a função
tem mínimo local em
. Pelo resultado do passo anterior, como
é duas vezes diferenciável, temos
De modo análogo, considere
Também
tem mínimo local em
, logo
Portanto, em um ponto de mínimo local
necessariamente
Passo 4
Combine as desigualdades obtidas: multiplicando por
e por
e somando, obtemos
Mas isso contradiz a hipótese do enunciado, que afirma que em todo ponto (em particular em
)
Como
, não pode ocorrer a desigualdade anterior. Assim chegamos a uma contradição.
Passo 5
Concluímos que a hipótese de existência de um mínimo local em qualquer ponto
leva a uma contradição com a relação dada. Portanto
não pode ter mínimo local em nenhum ponto de
.
Resposta
Não existe
que seja mínimo local de
; isto é,
não pode ter mínimo local algum.