Questão 4: Considere o campo
. Seja
o triângulo de vértices
e
, com normal exterior
. E seja
a região dentro do triângulo
. A integral de linha
.
ds é igual a:
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g) NDA
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g) NDA
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações (vou listar exatamente o que foi dado):
- O campo vetorial é
. -
é o triângulo com vértices , e . -
é a normal exterior à curva (ou seja, vetor normal apontando para fora da região). -
é a região interna ao triângulo .
A pergunta pede calcular a integral de linha (fluxo)
e identificar qual das alternativas listadas é igual a essa integral (a)–(g).
Passo 2
Qual ferramenta usar? Sem resolver ainda, só a ideia útil que vamos aplicar: existe uma forma da fórmula de Green (teorema da divergência em 2D) que relaciona o fluxo de um campo pelo contorno com o integral duplo da divergência sobre a região interna. A fórmula é
Aqui:
-
com e . -
é a divergência de , definida por . -
é a normal exterior e é o elemento de comprimento no contorno; o teorema acima vale para essa situação (fluxo através do bordo para fora).
Vou usar exatamente essa igualdade: calculare substituir na integral dupla sobre .
Passo 3
Identificar
e
no campo dado. Temos
Explico:
é a primeira componente (função associada ao eixo
) e
é a segunda componente (associada ao eixo
).
Passo 4
Calcular as derivadas parciais que compõem a divergência, passo a passo e com explicação:
- Para
: trate como constante e derive em relação a . A derivada de é , então
- Para
: trate como constante e derive em relação a . A derivada de é , então
Portanto a divergência é
Observe que em cada derivada a variável que não está sendo derivada é tratada como constante — esse é o procedimento padrão em derivadas parciais.
Passo 5
Aplicar o teorema da divergência (fluxo = integral dupla da divergência). Logo
Isto transforma a integral de linha (fluxo pelo contorno) numa integral dupla sobre a região interior
.
Passo 6
Comparar com as alternativas fornecidas: entre (a)–(f) a correspondência é exatamente com a alternativa (f), que é
Portanto a integral pedida equivale à alternativa (f). Pequena nota de cheque-mate: a orientação pedida era a normal exterior, e a forma do teorema que usei está precisamente para o fluxo com normal exterior, então o sinal está correto.
Resposta
(f)