Questão 4: Considere o campo F(x, y)=(y \sin x, x \sin y). Seja C o triângulo de vértices (0,0),(0,4) e (2,0), com normal exterior \vec{n}. E seja D a região dentro do triângulo C. A integral de linha \int_{c} F. \vec{n} ds é igual a:
(a) \iint_{D}(\sin x+\sin y) \mathrm{d} A
(b) \iint_{D} \sin (y-x) \mathrm{d} A
(c) \iint_{D}(3 \sin x+4 \sin y) \mathrm{d} A
(d) \iint_{D}(\sin y-\sin x) \mathrm{d} A
(e) \iint_{D} \cos x \cos y \mathrm{~d} A
(f) \iint_{D}(y \cos x+x \cos y) \mathrm{d} A
(g) NDA

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (vou listar exatamente o que foi dado):
  • O campo vetorial é \mathbf{F}(x,y) = (y\sin x,\; x\sin y).
  • C é o triângulo com vértices (0,0), (0,4) e (2,0).
  • \vec{n} é a normal exterior à curva C (ou seja, vetor normal apontando para fora da região).
  • D é a região interna ao triângulo C.
    A pergunta pede calcular a integral de linha (fluxo)
\int_{C} \mathbf{F}\cdot\vec{n}\, ds
e identificar qual das alternativas listadas é igual a essa integral (a)–(g).

Passo 2

Qual ferramenta usar? Sem resolver ainda, só a ideia útil que vamos aplicar: existe uma forma da fórmula de Green (teorema da divergência em 2D) que relaciona o fluxo de um campo pelo contorno com o integral duplo da divergência sobre a região interna. A fórmula é
\oint_{C}\mathbf{F}\cdot\vec{n}\, ds \;=\; \iint_{D} \nabla\cdot\mathbf{F}\, dA.
Aqui:
  • \mathbf{F}=(P,Q) com P=P(x,y) e Q=Q(x,y).
  • \nabla\cdot\mathbf{F} é a divergência de \mathbf{F}, definida por \nabla\cdot\mathbf{F}=\dfrac{\partial P}{\partial x}+\dfrac{\partial Q}{\partial y}.
  • \vec{n} é a normal exterior e ds é o elemento de comprimento no contorno; o teorema acima vale para essa situação (fluxo através do bordo para fora).
    Vou usar exatamente essa igualdade: calcular \nabla\cdot\mathbf{F} e substituir na integral dupla sobre D.

Passo 3

Identificar P e Q no campo dado. Temos
P(x,y)=y\sin x,\qquad Q(x,y)=x\sin y.
Explico: P é a primeira componente (função associada ao eixo x) e Q é a segunda componente (associada ao eixo y).

Passo 4

Calcular as derivadas parciais que compõem a divergência, passo a passo e com explicação:
  • Para \dfrac{\partial P}{\partial x}: trate y como constante e derive y\sin x em relação a x. A derivada de \sin x é \cos x, então
\dfrac{\partial P}{\partial x}=\dfrac{\partial}{\partial x}(y\sin x)=y\cos x.
  • Para \dfrac{\partial Q}{\partial y}: trate x como constante e derive x\sin y em relação a y. A derivada de \sin y é \cos y, então
\dfrac{\partial Q}{\partial y}=\dfrac{\partial}{\partial y}(x\sin y)=x\cos y.
Portanto a divergência é
\nabla\cdot\mathbf{F}=\dfrac{\partial P}{\partial x}+\dfrac{\partial Q}{\partial y}=y\cos x + x\cos y.
Observe que em cada derivada a variável que não está sendo derivada é tratada como constante — esse é o procedimento padrão em derivadas parciais.

Passo 5

Aplicar o teorema da divergência (fluxo = integral dupla da divergência). Logo
\int_{C}\mathbf{F}\cdot\vec{n}\, ds \;=\; \iint_{D} \bigl(y\cos x + x\cos y\bigr)\, dA.
Isto transforma a integral de linha (fluxo pelo contorno) numa integral dupla sobre a região interior D.

Passo 6

Comparar com as alternativas fornecidas: entre (a)–(f) a correspondência é exatamente com a alternativa (f), que é
\iint_{D}\bigl(y\cos x + x\cos y\bigr)\, dA.
Portanto a integral pedida equivale à alternativa (f). Pequena nota de cheque-mate: a orientação pedida era a normal exterior, e a forma do teorema que usei está precisamente para o fluxo com normal exterior, então o sinal está correto.

Resposta

(f) \displaystyle \iint_{D}\bigl(y\cos x + x\cos y\bigr)\, dA

Exercícios relacionados