Mostre que:
Se X=1, 12, ldots, 1n, mostre que X^prime=0.

Passo 1

Resumindo o enunciado e o conteúdo: temos o conjunto
X=1,tfrac12,tfrac13,ldots,tfrac1n,ldots
queremos mostrar que o conjunto de pontos de acumulação (conjunto derivado) X^prime é apenas 0. Para isso vamos usar a definição: um ponto x pertence a X^prime se, para todo varepsilon>0, o entorno puncturado (x-varepsilon,x+varepsilon)setminusx intercepta X.

Passo 2

Mostrando que 0in X^prime: seja qualquer varepsilon>0. Como 1/nto0, existe N tal que 1/N. Então
1/Nin(0-varepsilon,0+varepsilon)cap X,,
com 1/Nneq0. Logo todo entorno de 0 contém pontos de X distintos de 0, e 0 é ponto de acumulação.

Passo 3

Mostrando que se xneq0 então xnotin X^prime: seja x=1/m para algum minN. Note que os vizinhos imediatos em X são 1/(m-1) (se m>1) e 1/(m+1). Defina
de1?l|tfrac1m-1-tfrac1mr|r
(para m=1, basta usar de). Então o intervalo (1/m-de não contém nenhum outro ponto de X além de 1/m próprio. Assim existe entorno de x sem pontos de X diferentes de x, logo x não é ponto de acumulação.

Passo 4

Concluindo, o único ponto de acumulação de X é 0, ou seja,
X^prime=0

Resposta

{0}

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