1. Mostre que o fator de empacotamento atômico para a estrutura cristalina CCC vale 0,68.

Passo 1

Beleza, o problema pede pra gente mostrar que o fator de empacotamento atômico (APF) de uma estrutura cúbica de corpo centrado (CCC ou BCC em inglês) vale 0,68. Isso faz parte de cristalografia e envolve cálculo de volumes: o volume efetivamente ocupado pelos átomos dentro da célula unitária dividido pelo volume total da própria célula. Para resolver a gente vai precisar de:
  1. Saber quantos átomos há na célula unitária BBB.
  2. A relação entre a aresta da célula (a) e o raio atômico ®.
  3. As fórmulas de volume de cubo e de esfera.

Passo 2

Primeiro, a definição de APF:
APF = volume total dos átomos na celavolume da célula unitária áéá
Então precisamos achar esses dois volumes.

Passo 3

Quantos átomos há numa célula CCC?
  • Cada um dos 8 cantos contribui com 1/8 de átomo → total de 1 átomo vindos dos cantos.
  • Mais 1 átomo inteiro bem no centro da célula.
    Logo, número de átomos por cela = 1 + 1 = 2.

Passo 4

Agora, qual é a relação entre a (aresta do cubo) e r (raio atômico)?
Na CCC, os átomos do centro e de dois cantos opostos ficam alinhados na diagonal do cubo. Essa diagonal tem comprimento √3·a e atravessa 4 raios (r do canto esquerdo + 2r do átomo central + r do canto direito), ou seja 4r.
raiz3,a = 4r Longrightarrow a = 4rraiz3

Passo 5

Vamos aos volumes:
  1. Volume da célula unitária (cubo de aresta a):
Vcela = a^3 = l(tfrac4rraiz3r)^3 = 64,r^33raiz3
  1. Volume total ocupado pelos átomos: são 2 átomos, cada um com volume de uma esfera de raio r:
Vátomos = 2;times;43pi r^3 = 83,pi,r^3 á

Passo 6

Agora o APF:
APF = VátomosVcela = 83,pi,r^3643raiz3,r^3 = 8pi64,raiz3 = piraiz38 á
Basta só jogar números:
piapprox3,1416,raiz3approx1,732 Longrightarrow 3,1416times1,7328approx0,680

Resposta

O fator de empacotamento atômico da estrutura cúbica de corpo centrado (CCC) é APF ≃ 0,68.

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