- Mostre que o fator de empacotamento atômico para a estrutura cristalina CCC vale 0,68.
Passo 1
Beleza, o problema pede pra gente mostrar que o fator de empacotamento atômico (APF) de uma estrutura cúbica de corpo centrado (CCC ou BCC em inglês) vale 0,68. Isso faz parte de cristalografia e envolve cálculo de volumes: o volume efetivamente ocupado pelos átomos dentro da célula unitária dividido pelo volume total da própria célula. Para resolver a gente vai precisar de:
- Saber quantos átomos há na célula unitária BBB.
- A relação entre a aresta da célula (a) e o raio atômico ®.
- As fórmulas de volume de cubo e de esfera.
Passo 2
Primeiro, a definição de APF:
Então precisamos achar esses dois volumes.
Passo 3
Quantos átomos há numa célula CCC?
- Cada um dos 8 cantos contribui com 1/8 de átomo → total de 1 átomo vindos dos cantos.
- Mais 1 átomo inteiro bem no centro da célula.
Logo, número de átomos por cela = 1 + 1 = 2.
Passo 4
Agora, qual é a relação entre a (aresta do cubo) e r (raio atômico)?
Na CCC, os átomos do centro e de dois cantos opostos ficam alinhados na diagonal do cubo. Essa diagonal tem comprimento √3·a e atravessa 4 raios (r do canto esquerdo + 2r do átomo central + r do canto direito), ou seja 4r.
Na CCC, os átomos do centro e de dois cantos opostos ficam alinhados na diagonal do cubo. Essa diagonal tem comprimento √3·a e atravessa 4 raios (r do canto esquerdo + 2r do átomo central + r do canto direito), ou seja 4r.
Passo 5
Vamos aos volumes:
- Volume da célula unitária (cubo de aresta a):
- Volume total ocupado pelos átomos: são 2 átomos, cada um com volume de uma esfera de raio r:
Passo 6
Agora o APF:
Basta só jogar números:
Resposta
O fator de empacotamento atômico da estrutura cúbica de corpo centrado (CCC) é APF ≃ 0,68.