Mostre que, quando se faz t=-t^*, inverte-se a orientação de r(t)=[a cos t, a sen t, 0]

Passo 1

O enunciado nos dá a curva parametrizada vec r(t)=[acos t,,asin t,,0] que descreve um círculo de raio a no plano xy, e pede para mostrar que, se fizermos a troca t=-t^*, o sentido de percurso (orientação) dessa curva se inverte. Vamos usar a regra da cadeia para derivadas e mostrar que o vetor tangente muda de sinal.

Passo 2

Reescrevendo a curva em função do novo parâmetro t^*, temos:
vec r(-t^*)=[acos(-t^*),,asin(-t^*),,0]
Mas como cos(-t^*)=cos t^* e sin(-t^*)=-sin t^*, isso fica:
vec r(-t^*)=[acos t^*,,-asin t^*,,0]

Passo 3

Agora calculamos o vetor tangente em relação a t^*. Aplicando a regra da cadeia:
ddt^*l(vec r(-t^*)r)=vec r'(-t^*)cdotd(-t^*)dt^*=vec r'(-t^*)cdot(-1)=-vec r'(-t^*)
Mas vec r'(-t^*) é justamente o vetor tangente original avaliado em t=-t^*, de modo que o resultado é o oposto do vetor tangente normal.

Passo 4

Como o vetor tangente em cada ponto se inverte (troca de direção), concluímos que o sentido de percurso da curva é invertido quando fazemos t=-t^*.

Resposta

Substituindo t=-t^*, o vetor tangente muda de sinal, logo a orientação da curva é invertida.

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