Mostre que, quando se faz
, inverte-se a orientação de
Passo 1
O enunciado nos dá a curva parametrizada
que descreve um círculo de raio
no plano
, e pede para mostrar que, se fizermos a troca
, o sentido de percurso (orientação) dessa curva se inverte. Vamos usar a regra da cadeia para derivadas e mostrar que o vetor tangente muda de sinal.
Passo 2
Reescrevendo a curva em função do novo parâmetro
, temos:
Mas como
Passo 3
Agora calculamos o vetor tangente em relação a
. Aplicando a regra da cadeia:
Mas
Passo 4
Como o vetor tangente em cada ponto se inverte (troca de direção), concluímos que o sentido de percurso da curva é invertido quando fazemos
.
Resposta
Substituindo
, o vetor tangente muda de sinal, logo a orientação da curva é invertida.