- Obtenha uma equação semelhante à equação abaixo que transforma o fluxo de difusão molar em relação a uma velocidade de referência arbitrária
para o fluxo de difusão molar em relação a alguma outra velocidade de referência arbitrária
.
Dica: Use a notação matricial para demonstrar a relação e mostre que
. Lembre-se que o sobrescrito 0 faz referencia ao fluxo de difusão molar em relação a a velocidade média molar, (J). Defina quem são os termos das matrizes
e
.
Passo 1
Vou deixar bem claro o que o enunciado pede e quais quantidades aparecem (sem resolver ainda).
- O enunciado pede uma equação matricial que relacione o vetor dos fluxos molares de difusão medidos em relação a uma velocidade de referência arbitrária
com o vetor dos fluxos medidos em relação a outra velocidade de referência arbitrária :
-
Temos
espécies. Para cada espécie definimos: -
: concentração molar da espécie (unidade: mol·m^{-3}). -
: concentração molar total. -
: velocidade da espécie (vetor no espaço físico). -
: velocidade de referência do tipo (definida por pesos , ver abaixo). -
: fluxo molar de difusão da espécie medido em relação a . Em notação compacta é o vetor coluna com componentes .
-
-
Definição padrão (assumida aqui): a velocidade de referência
é uma combinação linear das velocidades das espécies
Exemplos: para referência molar (média molar)
; para referência massa serão outros pesos.
- Relação entre fluxo e velocidades: por definição
- O objetivo final: encontrar explicitamente a matriz
(componentes em termos de e ) e mostrar a identidade indicada na dica:
além de definir claramente o que são as matrizes
e
.
Passo 2
Expressar as velocidades individuais
em função de um fluxo de referência. Parto da definição
Isto dá imediatamente
Esta é uma identidade simples: a velocidade da espécie é a velocidade de referência mais o seu desvio relacionado ao fluxo.
Passo 3
Escrever a outra velocidade de referência
usando as
e substituir
da etapa anterior:
Note que usei
para simplificar o termo multiplicando
.
Dessa expressão obtemos a diferença entre as velocidades de referência,
Passo 4
Agora escrevo
em função de quantidades com superscrito
. Pela definição:
Substituo aqui
e a expressão para
obtida no passo anterior:
Esta é uma relação linear entre os vetores
e
.]
Passo 5
Escrever a relação do passo anterior em forma matricial. Para isso introduzo vetores e matrizes usuais:
- vetor coluna
; - vetores coluna
e ; - diagonal
é a matriz diagonal com elementos na diagonal; - matriz diagonal inversa
tem elementos na diagonal; - vetor linha de uns
.
A relação
pode ser escrita, em notação de produto de matrizes, como
Verificação elemento-a-elemento: a entrada
da matriz
é
, que reproduz o fator acima.
Passo 6
Queremos a forma
. A equação do passo 5 dá
Assumindo (formalmente, ou restringindo-se ao subespaço apropriado de fluxos) que a matriz entre parênteses é inversível na subespaço relevante, invertendo-a obtemos
Isto já é a forma matricial desejada com
Mas esta expressão é escrita assumindo que a referência
foi usada para eliminar
. Para escrever uma forma simétrica envolvendo ambos
e
(e em particular envolvendo o caso especial 0, média molar), é conveniente obter uma expressão explícita e elementar para
.
Passo 7
Podemos também manipular diretamente a relação entre
e
obtida no passo 4 sem inverter explicitamente. Partindo de
e usando
com
, chegamos (após os mesmos passos algébricos mostrados antes) à forma elementar
Logo, a matriz de transformação tem entradas
onde
é o delta de Kronecker. Em forma matricial compacta:
Verifique elemento-a-elemento: o produto
tem componente
igual a
, como na expressão acima.
Passo 8
Agora defino explicitamente as matrizes
e
conforme pedido (a notação
refere-se à velocidade média molar, isto é,
).
Escolho a definição consistente (útil algebraicamente) em que
representa a transformação que leva o vetor de fluxos relativo a
para o vetor de fluxos relativo à velocidade média molar (superscrito
):
Usando a mesma dedução do Passo 3 com
obtemos
Portanto, em componente e em forma matricial:
onde
. Observe que esta matriz age de maneira consistente sobre vetores de fluxos e instrui a subtração do termo proporcional a
. A mesma fórmula vale para
trocando
por
(a expressão explícita acima não depende do índice
, porque usa
; ela dá a relação entre qualquer
e
).]
Passo 9
Montrar a identidade pedida. Parto das relações:
Elimino
:
. Reorganizando para
em função de
obtemos (formalmente, assumindo invertibilidade adequada na subespaço de interesse)
Logo, a matriz de transformação procurada satisfaz
que é exatamente a identidade pedida na dica. (Obs.: na prática essas matrizes atuam em um subespaço de dimensão
porque há a relação de soma sobre as componentes dos fluxos; a inversibilidade deve ser entendida restrita a esse subespaço.)
Passo 10
Resumo prático — formas úteis para aplicar em prova (passo a passo de como usar):
- Se quiser a relação direta elemento-a-elemento, use
ou, matricialmente,
- As matrizes que relacionam qualquer
com (média molar) são
- E a identidade pedida fica
(compreendida no subespaço adequado onde as inversas são bem definidas).