1. Obtenha uma equação semelhante à equação abaixo que transforma o fluxo de difusão molar em relação a uma velocidade de referência arbitrária \boldsymbol{u}^{a} para o fluxo de difusão molar em relação a alguma outra velocidade de referência arbitrária \boldsymbol{u}^{\boldsymbol{b}}.
\left(J^{\boldsymbol{a}}\right)=\left[\boldsymbol{B}^{a b}\right]\left(J^{\boldsymbol{b}}\right)
Dica: Use a notação matricial para demonstrar a relação e mostre que \left[\boldsymbol{B}^{a b}\right]= \left[\boldsymbol{B}^{0 a}\right]^{-1}\left[\boldsymbol{B}^{0 b}\right]. Lembre-se que o sobrescrito 0 faz referencia ao fluxo de difusão molar em relação a a velocidade média molar, (J). Defina quem são os termos das matrizes \left[\boldsymbol{B}^{0 a}\right] e \left[\boldsymbol{B}^{0 b}\right].

Passo 1

Vou deixar bem claro o que o enunciado pede e quais quantidades aparecem (sem resolver ainda).
  • O enunciado pede uma equação matricial que relacione o vetor dos fluxos molares de difusão medidos em relação a uma velocidade de referência arbitrária \boldsymbol{u}^{a} com o vetor dos fluxos medidos em relação a outra velocidade de referência arbitrária \boldsymbol{u}^{b}:
\left(J^{\boldsymbol{a}}\right)=\left[\boldsymbol{B}^{ab}\right]\left(J^{\boldsymbol{b}}\right).
  • Temos n espécies. Para cada espécie i definimos:
    • c_i: concentração molar da espécie i (unidade: mol·m^{-3}).
    • c=\sum_{i=1}^{n} c_i: concentração molar total.
    • v_i: velocidade da espécie i (vetor no espaço físico).
    • \boldsymbol{u}^{a}: velocidade de referência do tipo a (definida por pesos \alpha_i^{a}, ver abaixo).
    • J_i^{a}: fluxo molar de difusão da espécie i medido em relação a \boldsymbol{u}^{a}. Em notação compacta \left(J^{\boldsymbol{a}}\right) é o vetor coluna com componentes J_i^{a}.
  • Definição padrão (assumida aqui): a velocidade de referência \boldsymbol{u}^{a} é uma combinação linear das velocidades das espécies
\boldsymbol{u}^{a}=\sum_{i=1}^{n}\alpha_i^{a}\,\boldsymbol{v}_i, \qquad\text{com}\qquad \sum_{i=1}^{n}\alpha_i^{a}=1.
Exemplos: para referência molar (média molar) \alpha_i^{0}=x_i=c_i/c; para referência massa serão outros pesos.
  • Relação entre fluxo e velocidades: por definição
J_i^{a}=c_i\left(\boldsymbol{v}_i-\boldsymbol{u}^{a}\right).
  • O objetivo final: encontrar explicitamente a matriz \left[\boldsymbol{B}^{ab}\right] (componentes em termos de c_i e \alpha_i^{a},\alpha_i^{b}) e mostrar a identidade indicada na dica:
\left[\boldsymbol{B}^{ab}\right]=\left[\boldsymbol{B}^{0a}\right]^{-1}\left[\boldsymbol{B}^{0b}\right],
além de definir claramente o que são as matrizes \left[\boldsymbol{B}^{0a}\right] e \left[\boldsymbol{B}^{0b}\right].

Passo 2

Expressar as velocidades individuais \boldsymbol{v}_i em função de um fluxo de referência. Parto da definição
J_i^{a}=c_i\left(\boldsymbol{v}_i-\boldsymbol{u}^{a}\right).
Isto dá imediatamente
\boldsymbol{v}_i=\boldsymbol{u}^{a}+\frac{J_i^{a}}{c_i}.
Esta é uma identidade simples: a velocidade da espécie é a velocidade de referência mais o seu desvio relacionado ao fluxo.

Passo 3

Escrever a outra velocidade de referência \boldsymbol{u}^{b} usando as \alpha_i^{b} e substituir \boldsymbol{v}_i da etapa anterior:
\boldsymbol{u}^{b}=\sum_{i=1}^{n}\alpha_i^{b}\,\boldsymbol{v}_i = \sum_{i=1}^{n}\alpha_i^{b}\left(\boldsymbol{u}^{a}+\frac{J_i^{a}}{c_i}\right) = \boldsymbol{u}^{a}+\sum_{i=1}^{n}\alpha_i^{b}\frac{J_i^{a}}{c_i}.
Note que usei \sum_i\alpha_i^{b}=1 para simplificar o termo multiplicando \boldsymbol{u}^{a}.
Dessa expressão obtemos a diferença entre as velocidades de referência,
\boldsymbol{u}^{b}-\boldsymbol{u}^{a}=\sum_{i=1}^{n}\alpha_i^{b}\frac{J_i^{a}}{c_i}.

Passo 4

Agora escrevo J_j^{b} em função de quantidades com superscrito a. Pela definição:
J_j^{b}=c_j\left(\boldsymbol{v}_j-\boldsymbol{u}^{b}\right).
Substituo aqui \boldsymbol{v}_j=\boldsymbol{u}^{a}+J_j^{a}/c_j e a expressão para \boldsymbol{u}^{b}-\boldsymbol{u}^{a} obtida no passo anterior:
\begin{aligned} J_j^{b} &= c_j\Big(\boldsymbol{u}^{a}+\frac{J_j^{a}}{c_j}-\boldsymbol{u}^{b}\Big) = J_j^{a} - c_j\big(\boldsymbol{u}^{b}-\boldsymbol{u}^{a}\big)\\[4pt] &= J_j^{a} - c_j\sum_{i=1}^{n}\alpha_i^{b}\frac{J_i^{a}}{c_i}. \end{aligned}
Esta é uma relação linear entre os vetores J^{b} e J^{a}.]

Passo 5

Escrever a relação do passo anterior em forma matricial. Para isso introduzo vetores e matrizes usuais:
  • vetor coluna \left(J^{a}\right)=(J_1^{a},\dots,J_n^{a})^{T};
  • vetores coluna \boldsymbol{\alpha}^{b}=(\alpha_1^{b},\dots,\alpha_n^{b})^{T} e \boldsymbol{c}=(c_1,\dots,c_n)^{T};
  • diagonal \mathrm{diag}(\boldsymbol{c}) é a matriz diagonal com elementos c_i na diagonal;
  • matriz diagonal inversa \mathrm{diag}(1/\boldsymbol{c}) tem elementos 1/c_i na diagonal;
  • vetor linha de uns \boldsymbol{e}^{T}=(1,1,\dots,1).
A relação
J_j^{b}=J_j^{a}-c_j\sum_{i}\alpha_i^{b}\frac{J_i^{a}}{c_i}
pode ser escrita, em notação de produto de matrizes, como
\left(J^{b}\right)=\Big[I-\mathrm{diag}(\boldsymbol{c})\;\boldsymbol{\alpha}^{b}\;\mathrm{diag}(1/\boldsymbol{c})\Big]\left(J^{a}\right).
Verificação elemento-a-elemento: a entrada (j,i) da matriz \mathrm{diag}(\boldsymbol{c})\;\boldsymbol{\alpha}^{b}\;\mathrm{diag}(1/\boldsymbol{c}) é c_j\alpha_i^{b}(1/c_i)= (c_j/c_i)\alpha_i^{b}, que reproduz o fator acima.

Passo 6

Queremos a forma \left(J^{a}\right)=[\boldsymbol{B}^{ab}]\left(J^{b}\right). A equação do passo 5 dá
\left(J^{b}\right)=\Big[I-\mathrm{diag}(\boldsymbol{c})\;\boldsymbol{\alpha}^{b}\;\mathrm{diag}(1/\boldsymbol{c})\Big]\left(J^{a}\right).
Assumindo (formalmente, ou restringindo-se ao subespaço apropriado de fluxos) que a matriz entre parênteses é inversível na subespaço relevante, invertendo-a obtemos
\left(J^{a}\right) =\Big[I-\mathrm{diag}(\boldsymbol{c})\;\boldsymbol{\alpha}^{b}\;\mathrm{diag}(1/\boldsymbol{c})\Big]^{-1}\left(J^{b}\right).
Isto já é a forma matricial desejada com
\left[\boldsymbol{B}^{ab}\right] =\Big[I-\mathrm{diag}(\boldsymbol{c})\;\boldsymbol{\alpha}^{b}\;\mathrm{diag}(1/\boldsymbol{c})\Big]^{-1}.
Mas esta expressão é escrita assumindo que a referência a foi usada para eliminar \boldsymbol{v}_i. Para escrever uma forma simétrica envolvendo ambos a e b (e em particular envolvendo o caso especial 0, média molar), é conveniente obter uma expressão explícita e elementar para \left[\boldsymbol{B}^{ab}\right].

Passo 7

Podemos também manipular diretamente a relação entre J^{a} e J^{b} obtida no passo 4 sem inverter explicitamente. Partindo de
J_j^{a}=J_j^{b}+c_j\left(\boldsymbol{u}^{b}-\boldsymbol{u}^{a}\right),
e usando \boldsymbol{u}^{b}-\boldsymbol{u}^{a}=\sum_{i}(\alpha_i^{b}-\alpha_i^{a})\boldsymbol{v}_i com \boldsymbol{v}_i=\boldsymbol{u}^{b}+J_i^{b}/c_i, chegamos (após os mesmos passos algébricos mostrados antes) à forma elementar
J_j^{a}=J_j^{b}+\sum_{i=1}^{n}\frac{c_j}{c_i}\big(\alpha_i^{b}-\alpha_i^{a}\big)\,J_i^{b}.
Logo, a matriz de transformação tem entradas
\boxed{\;B^{ab}_{\,ji}=\delta_{ji}+\frac{c_j}{c_i}\big(\alpha_i^{b}-\alpha_i^{a}\big)\;},
onde \delta_{ji} é o delta de Kronecker. Em forma matricial compacta:
\boxed{\; \left[\boldsymbol{B}^{ab}\right] = I + \mathrm{diag}(\boldsymbol{c})\;(\boldsymbol{\alpha}^{b}-\boldsymbol{\alpha}^{a})\;\mathrm{diag}(1/\boldsymbol{c}) \;}.
Verifique elemento-a-elemento: o produto \mathrm{diag}(\boldsymbol{c})\;(\boldsymbol{\alpha}^{b}-\boldsymbol{\alpha}^{a})\;\mathrm{diag}(1/\boldsymbol{c}) tem componente (j,i) igual a (c_j/c_i)(\alpha_i^{b}-\alpha_i^{a}), como na expressão acima.

Passo 8

Agora defino explicitamente as matrizes \left[\boldsymbol{B}^{0a}\right] e \left[\boldsymbol{B}^{0b}\right] conforme pedido (a notação 0 refere-se à velocidade média molar, isto é, \alpha_i^{0}=x_i=c_i/c).
Escolho a definição consistente (útil algebraicamente) em que \left[\boldsymbol{B}^{0a}\right] representa a transformação que leva o vetor de fluxos relativo a a para o vetor de fluxos relativo à velocidade média molar (superscrito 0):
\left(J^{0}\right)=\left[\boldsymbol{B}^{0a}\right]\left(J^{a}\right).
Usando a mesma dedução do Passo 3 com \alpha^{0}_i=x_i=c_i/c obtemos
\begin{aligned} J_j^{0} &= J_j^{a} - c_j\sum_{i=1}^{n}\alpha_i^{0}\frac{J_i^{a}}{c_i} = J_j^{a} - c_j\sum_{i=1}^{n}\frac{c_i}{c}\cdot\frac{J_i^{a}}{c_i}\\[4pt] &= J_j^{a} - \frac{c_j}{c}\sum_{i=1}^{n}J_i^{a}. \end{aligned}
Portanto, em componente e em forma matricial:
\boxed{\;B^{0a}_{\,ji}=\delta_{ji}-\frac{c_j}{c}\;,\qquad\text{ou}\qquad \left[\boldsymbol{B}^{0a}\right]=I-\frac{1}{c}\,\mathrm{diag}(\boldsymbol{c})\,\boldsymbol{e}^{T}\;},
onde \boldsymbol{e}^{T}=(1,1,\dots,1). Observe que esta matriz age de maneira consistente sobre vetores de fluxos e instrui a subtração do termo proporcional a \sum_i J_i^{a}. A mesma fórmula vale para \left[\boldsymbol{B}^{0b}\right] trocando a por b (a expressão explícita acima não depende do índice a, porque usa \alpha^0; ela dá a relação entre qualquer J^{a} e J^{0}).]

Passo 9

Montrar a identidade pedida. Parto das relações:
\left(J^{0}\right)=\left[\boldsymbol{B}^{0a}\right]\left(J^{a}\right), \qquad \left(J^{0}\right)=\left[\boldsymbol{B}^{0b}\right]\left(J^{b}\right).
Elimino \left(J^{0}\right): \left[\boldsymbol{B}^{0a}\right]\left(J^{a}\right)=\left[\boldsymbol{B}^{0b}\right]\left(J^{b}\right). Reorganizando para \left(J^{a}\right) em função de \left(J^{b}\right) obtemos (formalmente, assumindo invertibilidade adequada na subespaço de interesse)
\left(J^{a}\right)=\left[\boldsymbol{B}^{0a}\right]^{-1}\left[\boldsymbol{B}^{0b}\right]\left(J^{b}\right).
Logo, a matriz de transformação procurada satisfaz
\boxed{\;\left[\boldsymbol{B}^{ab}\right]=\left[\boldsymbol{B}^{0a}\right]^{-1}\left[\boldsymbol{B}^{0b}\right]\;},
que é exatamente a identidade pedida na dica. (Obs.: na prática essas matrizes atuam em um subespaço de dimensão n-1 porque há a relação de soma sobre as componentes dos fluxos; a inversibilidade deve ser entendida restrita a esse subespaço.)

Passo 10

Resumo prático — formas úteis para aplicar em prova (passo a passo de como usar):
  • Se quiser a relação direta elemento-a-elemento, use
\boxed{\,J_j^{a}=\sum_{i=1}^{n}\Big(\delta_{ji}+\frac{c_j}{c_i}(\alpha_i^{b}-\alpha_i^{a})\Big)\,J_i^{b}\,}
ou, matricialmente,
\boxed{\,\left(J^{a}\right)=\Big[I+\mathrm{diag}(\boldsymbol{c})(\boldsymbol{\alpha}^{b}-\boldsymbol{\alpha}^{a})\mathrm{diag}(1/\boldsymbol{c})\Big]\left(J^{b}\right)\,}.
  • As matrizes que relacionam qualquer J^{a} com J^{0} (média molar) são
\boxed{\,\left[\boldsymbol{B}^{0a}\right]=I-\frac{1}{c}\,\mathrm{diag}(\boldsymbol{c})\,\boldsymbol{e}^{T}\,} \qquad\text{(isto dá \(\,J^{0}=[\boldsymbol{B}^{0a}]J^{a}\,\)).}á
  • E a identidade pedida fica
\boxed{\,\left[\boldsymbol{B}^{ab}\right]=\left[\boldsymbol{B}^{0a}\right]^{-1}\left[\boldsymbol{B}^{0b}\right]\,}
(compreendida no subespaço adequado onde as inversas são bem definidas).

Resposta

\displaystyle J_j^{a}=\sum_{i=1}^{n}\Big(\delta_{ji}+\frac{c_j}{c_i}\big(\alpha_i^{b}-\alpha_i^{a}\big)\Big)J_i^{b}
\displaystyle \left[\boldsymbol{B}^{ab}\right]=I+\mathrm{diag}(\boldsymbol{c})\;(\boldsymbol{\alpha}^{b}-\boldsymbol{\alpha}^{a})\;\mathrm{diag}(1/\boldsymbol{c})
\displaystyle \left[\boldsymbol{B}^{0a}\right]=I-\frac{1}{c}\,\mathrm{diag}(\boldsymbol{c})\,\boldsymbol{e}^{T}
\displaystyle \left[\boldsymbol{B}^{ab}\right]=\left[\boldsymbol{B}^{0a}\right]^{-1}\left[\boldsymbol{B}^{0b}\right]

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