1. Derive uma expressão para transformar o gradiente das frações molares, \boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{x}_{i}, em gradiente de frações mássicas, \boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{w}_{i}, (e vice-versa) análoga às equações abaixo. Encontre a matriz \left[\boldsymbol{B}^{x w}\right].
\begin{aligned} & (\nabla \boldsymbol{x})=\left[\boldsymbol{B}^{x w}\right](\nabla \boldsymbol{w}) \\\ & (\nabla \boldsymbol{w})=\left[\boldsymbol{B}^{w x}\right](\nabla \boldsymbol{x}) \end{aligned}
Dica: Note que a relação entre o número de mols, n, e a massa, m, de cada componente ou do sistema ocorre através da Massa Molar, M, que é uma variável constante, n=m / M.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas claras:
  • Derivar expressões que transformem o gradiente das frações molares \nabla \boldsymbol{x} em gradiente das frações mássicas \nabla \boldsymbol{w} e o inverso, isto é escrever
(\nabla \boldsymbol{x})=\left[\boldsymbol{B}^{x w}\right](\nabla \boldsymbol{w}), \qquad (\nabla \boldsymbol{w})=\left[\boldsymbol{B}^{w x}\right](\nabla \boldsymbol{x}).
  • Encontrar explicitamente a matriz \left[\boldsymbol{B}^{x w}\right] (e por completude \left[\boldsymbol{B}^{w x}\right]).
Informações fornecidas / que usaremos (tiradas do enunciado):
  • Para cada componente i: o número de mols é n_i, a massa é m_i e a massa molar é M_i (constante).
  • Relação entre massa e mols: n_i = m_i / M_i.
  • Fração molar: \displaystyle x_i=\frac{n_i}{n}, onde n=\sum_k n_k é o total de mols.
  • Fração mássica: \displaystyle w_i=\frac{m_i}{m}, onde m=\sum_k m_k é a massa total.
Não se resolveu nada ainda — abaixo vou derivar passo a passo as fórmulas pedidas.

Passo 2

Primeiro, expor a relação algebraica entre x_i e w_i que será a base das derivadas.
Definir a massa molar média do sistema:
\bar{M}=\sum_{k} x_k M_k.
Como m_i=n_i M_i e m=\sum_k n_k M_k=n\bar{M}, tem-se também m=n\bar{M}.
A relação direta entre w_i e x_i segue imediatamente:
w_i=\frac{m_i}{m}=\frac{n_i M_i}{n\bar{M}}=\frac{M_i x_i}{\bar{M}}.
Esta é a relação algebraica que vamos diferenciar para obter \nabla w_i em função de \nabla x_j. Note que \bar{M} depende de todos os x_k: \bar{M}=\sum_k M_k x_k.

Passo 3

Derivar \nabla w_i em função de \nabla x_j.
Partimos de
w_i=\frac{M_i x_i}{\bar{M}}.
Aplicando o operador gradiente (regra do quociente):
\nabla w_i = \frac{M_i \nabla x_i\;\bar{M} - M_i x_i\;\nabla\bar{M}}{\bar{M}^2}.
Calcular \nabla\bar{M}:
\nabla\bar{M}=\nabla\!\left(\sum_k M_k x_k\right)=\sum_k M_k \nabla x_k.
Substituindo:
\nabla w_i = \frac{M_i}{\bar{M}}\nabla x_i - \frac{M_i x_i}{\bar{M}^2}\sum_k M_k \nabla x_k.
Agora escrevemos isso em forma matricial \nabla w_i=\sum_j B^{w x}_{ij}\,\nabla x_j. Identificando os coeficientes do somatório sobre \nabla x_j obtemos os elementos da matriz \left[\boldsymbol{B}^{w x}\right]:
\boxed{\,B^{w x}_{ij}=\frac{M_i}{\bar{M}}\delta_{ij}-\frac{M_i x_i M_j}{\bar{M}^2}\,}
onde \delta_{ij} é o delta de Kronecker (igual a 1 se i=j e 0 caso contrário). Em forma vetorial/operador:
\left[\boldsymbol{B}^{w x}\right]=\operatorname{diag}\!\Big(\frac{M_i}{\bar{M}}\Big)\;-\;\frac{1}{\bar{M}^2}\,(M_i x_i)_{i}\,(M_j)_{j}^{T},
isto é uma matriz diagonal menos um termo de produto externo.
Observação didática curta: a primeira parcela \dfrac{M_i}{\bar{M}}\delta_{ij} vem da diferenciação direta de x_i quando \bar{M} fosse constante; o segundo termo corrige pelo fato de \bar{M} depender de todos os x_k.

Passo 4

Agora obter \nabla x em função de \nabla w (matriz \left[\boldsymbol{B}^{x w}\right]). Podemos começar de uma forma conveniente:
x_i=\frac{w_i/M_i}{\displaystyle\sum_k \frac{w_k}{M_k}}.
Definir a_i=\dfrac{w_i}{M_i} e S=\sum_k a_k. Então x_i=a_i/S. Note que S=\sum_k w_k/M_k está relacionado a \bar{M} porque, usando w_k=M_k x_k/\bar{M},
S=\sum_k \frac{w_k}{M_k}=\sum_k\frac{M_k x_k}{\bar{M}M_k}=\frac{1}{\bar{M}}.
Aplicar gradiente em x_i=a_i/S (regra do quociente):
\nabla x_i = \frac{\nabla a_i\;S - a_i\;\nabla S}{S^2}.
Agora \nabla a_i=(1/M_i)\nabla w_i e \nabla S=\sum_k (1/M_k)\nabla w_k. Substituindo:
\nabla x_i = \frac{1}{M_i}\frac{1}{S}\nabla w_i \;-\; \frac{a_i}{S^2}\sum_k\frac{1}{M_k}\nabla w_k.
Usando a_i/S=x_i e 1/S=\bar{M} (lembrando S=1/\bar{M}), simplificamos os coeficientes:
\nabla x_i = \frac{\bar{M}}{M_i}\nabla w_i \;-\; x_i\bar{M}\sum_k\frac{1}{M_k}\nabla w_k.
Escrevendo na forma \nabla x_i=\sum_j B^{x w}_{ij}\,\nabla w_j obtemos os elementos:
\boxed{\,B^{x w}_{ij}=\frac{\bar{M}}{M_i}\delta_{ij}-x_i\frac{\bar{M}}{M_j}\,}
ou, de modo compacto,
\left[\boldsymbol{B}^{x w}\right]=\bar{M}\,\operatorname{diag}\!\Big(\frac{1}{M_i}\Big)\;-\;\bar{M}\,(x_i)_{i}\,\Big(\frac{1}{M_j}\Big)_{j}^{T}.

Passo 5

Comentários finais e checagens rápidas (didático e prático):
  • As duas matrizes acima são compatíveis entre si; elas são as transformações lineares que ligam os vetores \nabla \boldsymbol{x} e \nabla \boldsymbol{w}.
  • Para entender a estrutura: cada matriz tem um termo diagonal principal (que seria a transformação se a média molar \bar{M} fosse constante) e corrige com um termo do tipo produto externo que vem do fato de \bar{M} depender das frações.
  • Em sistemas ternários, quaternários etc., as fórmulas de índice valem para todos os i,j. Em problemas práticos, ao calcular numericamente, obtenha primeiro \bar{M}=\sum_k x_k M_k (se transformar de x para w) ou S=\sum_k w_k/M_k (se transformar de w para x), e então monte as matrizes usando as fórmulas dos elementos B_{ij} dadas acima.
  • Dica de prova: se se desejar, pode verificar que aplicar \left[\boldsymbol{B}^{x w}\right] sobre \left[\boldsymbol{B}^{w x}\right] dá a identidade sobre o subespaço compatível com a condição \sum_i x_i=1 e \sum_i w_i=1 (atenção: frações somam 1, o que impõe uma dependência linear entre componentes; as matrizes atuam neste espaço restrito).

Resposta

B^{w x}_{ij}=\frac{M_i}{\bar{M}}\delta_{ij}-\frac{M_i x_i M_j}{\bar{M}^2}
B^{x w}_{ij}=\frac{\bar{M}}{M_i}\delta_{ij}-x_i\frac{\bar{M}}{M_j}

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