- Derive uma expressão para transformar o gradiente das frações molares,
, em gradiente de frações mássicas,
, (e vice-versa) análoga às equações abaixo. Encontre a matriz
.
Dica: Note que a relação entre o número de mols,
, e a massa,
, de cada componente ou do sistema ocorre através da Massa Molar,
, que é uma variável constante,
.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas claras:
- Derivar expressões que transformem o gradiente das frações molares
em gradiente das frações mássicas e o inverso, isto é escrever
- Encontrar explicitamente a matriz
(e por completude ).
Informações fornecidas / que usaremos (tiradas do enunciado):
- Para cada componente
: o número de mols é , a massa é e a massa molar é (constante). - Relação entre massa e mols:
. - Fração molar:
, onde é o total de mols. - Fração mássica:
, onde é a massa total.
Não se resolveu nada ainda — abaixo vou derivar passo a passo as fórmulas pedidas.
Passo 2
Primeiro, expor a relação algebraica entre
e
que será a base das derivadas.
Definir a massa molar média do sistema:
Como
e
, tem-se também
.
A relação direta entre
e
segue imediatamente:
Esta é a relação algebraica que vamos diferenciar para obter
em função de
. Note que
depende de todos os
:
.
Passo 3
Derivar
em função de
.
Partimos de
Aplicando o operador gradiente (regra do quociente):
Calcular
:
Substituindo:
Agora escrevemos isso em forma matricial
. Identificando os coeficientes do somatório sobre
obtemos os elementos da matriz
:
onde
é o delta de Kronecker (igual a
se
e
caso contrário). Em forma vetorial/operador:
isto é uma matriz diagonal menos um termo de produto externo.
Observação didática curta: a primeira parcela
vem da diferenciação direta de
quando
fosse constante; o segundo termo corrige pelo fato de
depender de todos os
.
Passo 4
Agora obter
em função de
(matriz
). Podemos começar de uma forma conveniente:
Definir
e
. Então
. Note que
está relacionado a
porque, usando
,
Aplicar gradiente em
(regra do quociente):
Agora
e
. Substituindo:
Usando
e
(lembrando
), simplificamos os coeficientes:
Escrevendo na forma
obtemos os elementos:
ou, de modo compacto,
Passo 5
Comentários finais e checagens rápidas (didático e prático):
- As duas matrizes acima são compatíveis entre si; elas são as transformações lineares que ligam os vetores
e . - Para entender a estrutura: cada matriz tem um termo diagonal principal (que seria a transformação se a média molar
fosse constante) e corrige com um termo do tipo produto externo que vem do fato de depender das frações. - Em sistemas ternários, quaternários etc., as fórmulas de índice valem para todos os
. Em problemas práticos, ao calcular numericamente, obtenha primeiro (se transformar de para ) ou (se transformar de para ), e então monte as matrizes usando as fórmulas dos elementos dadas acima. - Dica de prova: se se desejar, pode verificar que aplicar
sobre dá a identidade sobre o subespaço compatível com a condição e (atenção: frações somam 1, o que impõe uma dependência linear entre componentes; as matrizes atuam neste espaço restrito).