Suponha que a conexão é puramente anti-simétrica, substitua em
barGammamu eta^nu=(M^-1)^beta mu[M^nu de<a Gammabeta alpha^de<a(M^-1)^alpha eta-partial M^nu alphapartial u^beta(M^-1)^alpha eta],
e verifique que esta se transforma como um tensor.

Passo 1

O enunciado nos dá a lei de transformação da conexão em coordenadas u^muto bar u^mu
barGammamueta^nu =(M^-1)^betamul[M^nude<a,Gammabetaalpha^de<a,(M^-1)^alphaeta -partial M^nualphapartial u^beta,(M^-1)^alphaetar],
onde M^nualpha=partial bar u^nu/partial u^alpha e (M^-1)^alphaeta=partial u^alpha/partial bar u^eta. Queremos mostrar que, se Gammabetaalpha^de<a é totalmente anti-s simétrica em beta,alpha, então barGamma^numueta satisfaz a lei de transformação de um tensor do tipo (1,2).

Passo 2

Diferenciando a identidade
M^nualpha,(M^-1)^alphaeta=de<a^nueta
em relação a u^beta, obtemos
partial M^nualphapartial u^beta,(M^-1)^alphaeta +M^nualpha,partial (M^-1)^alphaetapartial u^beta =0
ou seja
partial M^nualphapartial u^beta,(M^-1)^alphaeta =-,M^nualpha,partial (M^-1)^alphaetapartial u^beta

Passo 3

Substituindo este resultado na lei original, o segundo termo do colchete vira
-partial M^nualphapartial u^beta,(M^-1)^alphaeta =+M^nualpha,partial (M^-1)^alphaetapartial u^beta
Logo
barGammamueta^nu =(M^-1)^betamu, M^nude<a l[Gammabetaalpha^de<a,(M^-1)^alphaeta +partial (M^-1)^de<aetapartial u^betar]

Passo 4

Defina
T^de<abetaeta =Gammabetaalpha^de<a,(M^-1)^alphaeta +partial (M^-1)^de<aetapartial u^beta
Usando Gammabetaalpha^de<a=-Gammaalphabeta^de<a e diferenciando (M^-1)^de<aeta(M)^etagamma=de<a^de<agamma de modo análogo ao Passo 2, mostra-se que
Gammabetaalpha^de<a,(M^-1)^alphaeta +partial (M^-1)^de<aetapartial u^beta =-l(Gammade<aalpha^beta,(M^-1)^alphaeta +partial (M^-1)^betaetapartial u^de<ar),
ou seja T^de<abetaeta=-T^betade<aeta. Logo T é anti-s simétrico em de<a,beta.

Passo 5

Como T^de<abetaeta é anti-s simétrico em de<a,beta, a expressão
barGammamueta^nu =(M^-1)^betamu,M^nude<a,T^de<abetaeta
é exatamente a lei de transformação de um tensor tipo (1,2) cujos índices inferiores são anti-s simétricos. Em outras palavras,
barGamma^numueta =(M^-1)^alphamu,(M^-1)^betaeta,M^nude<a, Gamma^de<aalphabeta

Resposta

barGamma^numueta =(M^-1)^alphamu,(M^-1)^betaeta,M^nude<a, Gamma^de<aalphabeta,
ou seja, quando Gammabetaalpha^de<a é anti-s simétrica, barGamma transforma como tensor.

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