Suponha que a conexão é puramente anti-simétrica, substitua em
e verifique que esta se transforma como um tensor.
Passo 1
O enunciado nos dá a lei de transformação da conexão em coordenadas
onde
e
. Queremos mostrar que, se
é totalmente anti-s simétrica em
, então
satisfaz a lei de transformação de um tensor do tipo
.
Passo 2
Diferenciando a identidade
em relação a
, obtemos
ou seja
Passo 3
Substituindo este resultado na lei original, o segundo termo do colchete vira
Logo
Passo 4
Defina
Usando
e diferenciando
de modo análogo ao Passo 2, mostra-se que
ou seja
. Logo
é anti-s simétrico em
.
Passo 5
Como
é anti-s simétrico em
, a expressão
é exatamente a lei de transformação de um tensor tipo
cujos índices inferiores são anti-s simétricos. Em outras palavras,
Resposta
ou seja, quando
é anti-s simétrica,
transforma como tensor.