Mostre que se a for um inteiro que deixa resto 3 na divisão por 6 então 72 \mid a^{2}-9.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que se um inteiro a deixa resto 3 na divisão por 6, isto é, a\equiv3\pmod6, então 72 divide a^{2}-9. O conteúdo principal é aritmética modular e propriedades de divisibilidade.

Passo 2

Como a\equiv3\pmod6, existe um k\in\mathbb{Z} tal que
a = 6k + 3.

Passo 3

Calculamos a^{2}-9:
a^{2}-9 = (6k + 3)^{2} - 9 = 36k^{2} + 36k + 9 - 9 = 36k(k+1).

Passo 4

Note que entre dois inteiros consecutivos k e k+1, um deles é par. Logo k(k+1) é par, isto é, 2\mid k(k+1). Portanto existe m\in\mathbb{Z} com
k(k+1) = 2m.

Passo 5

Substituindo em 36k(k+1), obtemos
a^{2}-9 = 36\bigl(2m\bigr) = 72m,
ou seja, 72 divide a^{2}-9.

Resposta

Portanto, se a\equiv3\pmod6 então
72 \mid a^{2}-9.

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