Mostre que, \forall n \in \mathbb{N} \cup\{0\}
\quad 13 \mid\left(9^{2 n}-2^{2 n}\right))

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para todo n\in\mathbb{N}\cup\{0\}, vale
13\mid\bigl(9^{2n}-2^{2n}\bigr).
O conteúdo usado será o princípio da indução matemática e manipulação algébrica para mostrar que o caso n implica o caso n+1.

Passo 2

Base da indução ( n=0).
9^{2\cdot0}-2^{2\cdot0}=9^0-2^0=1-1=0,
e 0 é múltiplo de 13. Logo, a propriedade vale para n=0.

Passo 3

Hipótese de indução. Suponha que, para algum n\ge0, já sabemos que
13\mid\bigl(9^{2n}-2^{2n}\bigr).
Ou seja, existe inteiro k tal que
9^{2n}-2^{2n}=13k.

Passo 4

Passo indutivo ( n\to n+1). Vamos examinar
9^{2(n+1)}-2^{2(n+1)}=9^{2n+2}-2^{2n+2}.
Reescrevendo,
9^{2n+2}-2^{2n+2} =9^2\cdot9^{2n}-2^2\cdot2^{2n} =9^2\bigl(9^{2n}-2^{2n}\bigr)\;+\;2^{2n}\bigl(9^2-2^2\bigr).
Pelos dois termos:
  1. 9^2\bigl(9^{2n}-2^{2n}\bigr) é múltiplo de 13 por hipótese de indução.
9^2-2^2=81-4=77=13\cdot7,
logo 2^{2n}(9^2-2^2) também é múltiplo de 13.
Somando dois múltiplos de 13 obtemos outro múltiplo de 13. Portanto
13\mid\bigl(9^{2n+2}-2^{2n+2}\bigr),
que é exatamente a propriedade para n+1.

Resposta

Pela indução matemática, concluímos que, para todo n\in\mathbb{N}\cup\{0\}, vale
13\mid\bigl(9^{2n}-2^{2n}\bigr).

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