Mostre que,
)
Passo 1
O enunciado pede para mostrarmos que, para todo
, vale a divisibilidade
O conteúdo é prova por indução em número natural e regras de divisibilidade.
Passo 2
Base da indução (
):
Calculamos
Calculamos
Como
é múltiplo de qualquer inteiro, em particular de
, a propriedade é verdadeira para
.
Passo 3
Passo indutivo: suponha que, para algum
, tenhamos
Precisamos mostrar que também vale
Passo 4
Observe a diferença para
:
Agora acrescentamos e subtraímos
:
Isto é,
Passo 5
Pela hipótese indutiva,
, logo a primeira parcela
é múltipla de
. Na segunda parcela temos
que também é múltipla de
. Soma de dois múltiplos de
é múltiplo de
. Portanto
completando o passo indutivo.
Resposta
Por indução, concluímos que, para todo
, vale
.