Mostre que, \forall n \in \mathbb{N} \cup\{0\}
\quad 3 \mid\left(10^{n}-7^{n}\right))

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que, para todo n\in\mathbb{N}\cup\{0\}, vale a divisibilidade
3 \mid \bigl(10^{n} - 7^{n}\bigr).
O conteúdo é prova por indução em número natural e regras de divisibilidade.

Passo 2

Base da indução ( n=0):
Calculamos
10^{0} - 7^{0} = 1 - 1 = 0.
Como 0 é múltiplo de qualquer inteiro, em particular de 3, a propriedade é verdadeira para n=0.

Passo 3

Passo indutivo: suponha que, para algum k\ge0, tenhamos
3 \mid \bigl(10^{k} - 7^{k}\bigr).
Precisamos mostrar que também vale
3 \mid \bigl(10^{k+1} - 7^{k+1}\bigr).

Passo 4

Observe a diferença para k+1:
10^{k+1} - 7^{k+1} = 10\cdot10^{k} \;-\; 7\cdot7^{k}.
Agora acrescentamos e subtraímos 10\cdot7^{k}:
10^{k+1} - 7^{k+1} = \bigl(10\cdot10^{k} - 10\cdot7^{k}\bigr) \;+\; \bigl(10\cdot7^{k} - 7\cdot7^{k}\bigr).
Isto é,
10^{k+1} - 7^{k+1} = 10\,\bigl(10^{k} - 7^{k}\bigr) \;+\; 7^{k}\,(10 - 7).

Passo 5

Pela hipótese indutiva, 3\mid\bigl(10^{k} - 7^{k}\bigr), logo a primeira parcela 10\,(10^{k}-7^{k}) é múltipla de 3. Na segunda parcela temos
7^{k}\,(10 - 7)=7^{k}\cdot3,
que também é múltipla de 3. Soma de dois múltiplos de 3 é múltiplo de 3. Portanto
3 \mid \bigl(10^{k+1} - 7^{k+1}\bigr),
completando o passo indutivo.

Resposta

Por indução, concluímos que, para todo n\in\mathbb{N}\cup\{0\}, vale 3\mid\bigl(10^{n}-7^{n}\bigr).

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