Mostre que a força restauradora de uma mola com constante k, em movimento unidimensional, é uma força conservativa.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para mostrar que a força restauradora de uma mola, que tem constante $ k $, em movimento unidimensional, é uma força conservativa. Para isso, vamos usar conceitos de física sobre forças conservativas e a lei de Hooke que descreve o comportamento das molas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma força restauradora. É aquela que tenta trazer o objeto de volta para a posição de equilíbrio. No caso da mola, quando você puxa ou comprime, a mola exerce uma força que tenta voltar ao seu tamanho original.
Passo 3
A lei de Hooke nos diz que a força restauradora $ F $ de uma mola é proporcional ao deslocamento $ x $ da posição de equilíbrio. A fórmula é:
O sinal negativo indica que a força está na direção oposta ao deslocamento.
Passo 4
Agora, vamos falar sobre forças conservativas. Uma força é conservativa se o trabalho realizado por ela ao mover um objeto entre dois pontos não depende do caminho percorrido, mas apenas da posição inicial e final. Além disso, em forças conservativas, podemos associar uma energia potencial.
Passo 5
Para mostrar que a força da mola é conservativa, vamos calcular o trabalho realizado por ela ao mover a mola de $ x_1 $ para $ x_2 $:
Esse trabalho depende apenas das posições $ x_1 $ e $ x_2 $, não do caminho, o que confirma que a força é conservativa. Além disso, podemos definir a energia potencial da mola como:
Resposta
Portanto, mostramos que a força restauradora de uma mola com constante $ k $ é uma força conservativa.