Mostre que beta=(1,1,0,0),(-1,0,2,3),(0,0,1,1),(1,0,0,3) forma uma base de R^4 e obtenha as matrizes mudança de base [I]can^beta e [I]beta^can, onde can é a base canônica de R^4.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente mostrar que o conjunto beta = (1,1,0,0), (-1,0,2,3), (0,0,1,1), (1,0,0,3) é uma base de R^4. Depois, precisamos encontrar as matrizes de mudança de base [I]can^beta e [I]beta^can, onde “can” é a base canônica de R^4. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de bases, independência linear e matrizes de mudança de base.

Passo 2

Primeiro, vamos mostrar que beta é uma base de R^4. Para isso, precisamos verificar se os vetores em beta são linearmente independentes e se eles geram todo o espaço R^4.

Passo 3

Para verificar a independência linear, vamos montar uma matriz com os vetores de beta como colunas e calcular seu determinante. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são linearmente independentes.
A matriz fica assim:
A = 1 & -1 & 0 & 1 1 & 0 & 0 & 0 0 & 2 & 1 & 0 0 & 3 & 1 & 3
Vamos calcular o determinante de A.

Passo 4

Calculando o determinante de A:
det(A) = 1 cdot det 0 & 0 & 0 2 & 1 & 0 3 & 1 & 3 - (-1) cdot det 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 1 & 3 + 0 cdot det() - 1 cdot det 1 & -1 & 0 0 & 2 & 1 0 & 3 & 1
Calculando cada determinante menor:
det 0 & 0 & 0 2 & 1 & 0 3 & 1 & 3 = 0 (porque tem uma linha de zeros)
det 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 1 & 3 = 1 cdot det 1 & 0 1 & 3 = 1 cdot (1 cdot 3 - 0 cdot 1) = 3
det 1 & -1 & 0 0 & 2 & 1 0 & 3 & 1 = 1 cdot det 2 & 1 3 & 1 = 1 cdot (2 cdot 1 - 1 cdot 3) = -1
Agora, substituindo:
det(A) = 1 cdot 0 - (-1) cdot 3 + 0 - 1 cdot (-1) = 0 + 3 + 0 + 1 = 4
Como det(A) = 4 neq 0, os vetores são linearmente independentes.

Passo 5

Como beta tem 4 vetores e eles são linearmente independentes em R^4, isso significa que beta é uma base de R^4.

Passo 6

Agora, vamos encontrar as matrizes de mudança de base [I]can^beta e [I]beta^can. A matriz [I]can^beta representa as coordenadas dos vetores da base canônica em relação a beta, e [I]beta^can faz o contrário.

Passo 7

Para encontrar [I]can^beta, precisamos expressar cada vetor da base canônica e1, e2, e3, e4 da R^4 como combinação linear dos vetores de beta. Isso resulta em resolver sistemas lineares para cada vetor canônico.
Entretanto, uma maneira mais rápida é usar a matriz A que já temos. A matriz [I]can^beta é exatamente A^-1, já que A tem os vetores de beta como colunas.

Passo 8

Vamos calcular A^-1. Temos que:
A = 1 & -1 & 0 & 1 1 & 0 & 0 & 0 0 & 2 & 1 & 0 0 & 3 & 1 & 3
Calculando a inversa de A, temos:
A^-1 = 14 3 & 1 & -1 & -1 -1 & 1 & 0 & 0 1 & -1 & 1 & 0 -1 & 0 & 0 & 1
Portanto, [I]can^beta = A^-1.

Passo 9

Para encontrar [I]beta^can, precisamos da matriz de mudança de beta para a base canônica. Essa matriz é simplesmente a matriz A, pois ela já expressa os vetores de beta em termos da base canônica.

Resposta

Então, beta é uma base de R^4 e as matrizes de mudança de base são:
[I]can^beta = 14 3 & 1 & -1 & -1 -1 & 1 & 0 & 0 1 & -1 & 1 & 0 -1 & 0 & 0 & 1
[I]beta^can = 1 & -1 & 0 & 1 1 & 0 & 0 & 0 0 & 2 & 1 & 0 0 & 3 & 1 & 3

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