Mostre que forma uma base de obtenha as matrizes mudança de base e , onde can é a base canônica de .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente mostrar que o conjunto é uma base de . Depois, precisamos encontrar as matrizes de mudança de base e , onde “can” é a base canônica de . Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de bases, independência linear e matrizes de mudança de base.
Passo 2
Primeiro, vamos mostrar que é uma base de . Para isso, precisamos verificar se os vetores em são linearmente independentes e se eles geram todo o espaço .
Passo 3
Para verificar a independência linear, vamos montar uma matriz com os vetores de como colunas e calcular seu determinante. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são linearmente independentes.
Como det(A) = 4 neq 0, os vetores são linearmente independentes.
Passo 5
Como beta tem 4 vetores e eles são linearmente independentes em R^4, isso significa que beta é uma base de R^4.
Passo 6
Agora, vamos encontrar as matrizes de mudança de base [I]can^beta e [I]beta^can. A matriz [I]can^beta representa as coordenadas dos vetores da base canônica em relação a beta, e [I]beta^can faz o contrário.
Passo 7
Para encontrar [I]can^beta, precisamos expressar cada vetor da base canônica e1, e2, e3, e4 da R^4 como combinação linear dos vetores de beta. Isso resulta em resolver sistemas lineares para cada vetor canônico.
Entretanto, uma maneira mais rápida é usar a matriz A que já temos. A matriz [I]can^beta é exatamente A^-1, já que A tem os vetores de beta como colunas.
Para encontrar [I]beta^can, precisamos da matriz de mudança de beta para a base canônica. Essa matriz é simplesmente a matriz A, pois ela já expressa os vetores de beta em termos da base canônica.
Resposta
Então, beta é uma base de R^4 e as matrizes de mudança de base são: