Sejam beta=(1,0),(0,1), beta1=(5,-1),(2,5) e beta2=(-2,1),(1,3) bases ordenadas de R^2.
Quais são as coordenadas do vetor v=(3,-5) em relação à base:
iii) beta2

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar as coordenadas do vetor v = (3, -5) em relação à base beta2 , que é beta2 = (-2, 1), (1, 3) . Isso envolve conceitos de mudança de base na álgebra linear. Vamos precisar entender como expressar um vetor em termos de uma nova base, ou seja, encontrar quais combinações lineares dos vetores da base beta2 resultam no vetor v .

Passo 2

Primeiro, precisamos expressar o vetor v = (3, -5) como uma combinação linear dos vetores da base beta2 . Isso significa que queremos encontrar números a e b tais que:
v = a cdot (-2, 1) + b cdot (1, 3)
Em outras palavras, queremos achar a e b que, quando multiplicamos os vetores da base por esses números e somamos, obtenhamos o vetor v .

Passo 3

Vamos expandir essa equação para termos um sistema de equações que podemos resolver:
(3, -5) = a cdot (-2, 1) + b cdot (1, 3)
Isso nos dá duas equações:
3 = -2a + b (1)
-5 = a + 3b (2)
Agora, vamos resolver esse sistema de equações para encontrar os valores de a e b .

Passo 4

Primeiro, vamos resolver a equação (1) para b :
3 = -2a + b implies b = 3 + 2a
Agora, substituímos esse valor de b na equação (2):
-5 = a + 3(3 + 2a)
-5 = a + 9 + 6a
-5 = 7a + 9

Passo 5

Agora, vamos isolar a :
7a = -5 - 9
7a = -14
a = -2
Com o valor de a encontrado, substituímos de volta na equação para b :
b = 3 + 2(-2) = 3 - 4 = -1

Resposta

As coordenadas do vetor v = (3, -5) em relação à base beta2 são (-2, -1) .

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