Sejam
e
bases ordenadas de
.
Quais são as coordenadas do vetor
em relação à base:
iii)
Quais são as coordenadas do vetor
iii)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar as coordenadas do vetor
em relação à base
, que é
. Isso envolve conceitos de mudança de base na álgebra linear. Vamos precisar entender como expressar um vetor em termos de uma nova base, ou seja, encontrar quais combinações lineares dos vetores da base
resultam no vetor
.
Passo 2
Primeiro, precisamos expressar o vetor
como uma combinação linear dos vetores da base
. Isso significa que queremos encontrar números
e
tais que:
Em outras palavras, queremos achar
e
que, quando multiplicamos os vetores da base por esses números e somamos, obtenhamos o vetor
.
Passo 3
Vamos expandir essa equação para termos um sistema de equações que podemos resolver:
Isso nos dá duas equações:
Agora, vamos resolver esse sistema de equações para encontrar os valores de
e
.
Passo 4
Primeiro, vamos resolver a equação (1) para
:
Agora, substituímos esse valor de
na equação (2):
Passo 5
Agora, vamos isolar
:
Com o valor de
encontrado, substituímos de volta na equação para
:
Resposta
As coordenadas do vetor
em relação à base
são
.