Mostre, partindo das eqs. (05.1) e (05.2), que se a segunda partícula for um alvo,
, então teremos:
Inclua as considerações para aproximações e explicações/justificativas necessárias.
A partir das eqs (06.1) e (06.2), mostre o que acontece nos casos particulares quando:
2.
alvo é massivo,
, i.é.,
?
A partir das eqs (06.1) e (06.2), mostre o que acontece nos casos particulares quando:
2.
Passo 1
Então, vamos lá! O exercício pede para a gente usar as equações (05.1) e (05.2) para mostrar que, se a segunda partícula é um alvo parado (ou seja, sua velocidade final $ v_{2}^{\prime} = 0 $), então as velocidades finais das duas partículas ficam conforme as fórmulas dadas. Além disso, precisamos analisar o que acontece quando o alvo é bem mais massivo que a primeira partícula, ou seja, quando $ m_{2} > m_{1} $ e podemos aproximar $ m_{1} \pm m_{2} \approx m_{2} $. Para resolver isso, vamos usar conceitos de colisões elásticas e conservação de momento e energia.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar as equações da conservação do momento e da energia para uma colisão elástica. Supondo que as partículas 1 e 2 têm massas $ m_{1} $ e $ m_{2} $, e velocidades iniciais $ v_{1} $ e $ v_{2} $, e finais $ v_{1}^{\prime} $ e $ v_{2}^{\prime} $, temos:
- Conservação do momento:
- Conservação da energia cinética:
Passo 3
No problema, a segunda partícula é um alvo parado, ou seja, antes da colisão $ v_{2} = 0 $. Além disso, após a colisão, queremos que $ v_{2}^{\prime} = 0 $. Vamos substituir esses valores nas equações:
- Conservação do momento:
Isso implica que $ v_{1}^{\prime} = v_{1} $. Mas isso não coincide com o resultado que queremos, então provavelmente precisamos considerar outra abordagem.
Passo 4
Vamos considerar que a segunda partícula está parada inicialmente, ou seja, $ v_{2} = 0 $, mas não necessariamente $ v_{2}^{\prime} = 0 $. Parece que houve uma confusão na interpretação inicial. Vamos assumir que após a colisão, queremos que o alvo permaneça parado, então $ v_{2}^{\prime} = 0 $.
Passo 5
Com $ v_{2}^{\prime} = 0 $, voltamos à conservação do momento:
Isso sugere que $ v_{1}^{\prime} = v_{1} $, mas isso não faz sentido na colisão. Parece que precisamos revisar a suposição.
Passo 6
Na verdade, se a segunda partícula é um alvo massivo e permanece parada após a colisão ($ v_{2}^{\prime} = 0 $), isso implica que toda a energia e momento são transferidos para a primeira partícula. Porém, devemos usar as equações da colisão para encontrar a relação correta.
Vamos usar as equações gerais para colisões:
Como $ v_{2} = 0 $, temos:
Essas são as equações que o exercício nos pede para mostrar!
Passo 7
Agora, vamos analisar o caso em que o alvo é massivo, ou seja, $ m_{2} > m_{1} $. Nesse caso, se $ m_{2} $ é muito maior que $ m_{1} $, podemos aproximar $ m_{1} + m_{2} \approx m_{2} $ e $ m_{1} - m_{2} \approx -m_{2} $. Vamos aplicar isso nas equações encontradas:
Para $ v_{1}^{\prime} $:
Isso significa que a primeira partícula inverte sua direção com a mesma velocidade após a colisão.
Para $ v_{2}^{\prime} $:
Como $ m_{2} $ é muito maior que $ m_{1} $, $ v_{2}^{\prime} $ será muito pequeno, praticamente zero. Isso confirma que o alvo permanece praticamente parado.
Resposta
Quando o alvo é massivo ($ m_{2} > m_{1} $), temos que $ m_{1} \pm m_{2} \approx m_{2} $. Assim, as velocidades finais ficam:
Ou seja, a primeira partícula inverte sua direção com a mesma velocidade, e a segunda partícula praticamente não se movimenta após a colisão.