(a) Mostre que uma formulação alternativa para o Princípio da Incerteza de Heisenberg no caso não relativístico pode ser dada por:
\Delta E \Delta x \geq \frac{\hbar}{m} p_{x}
onde E é a energia cinética e \hbar=h / 2 \pi. Neste problema, trate o operador \Delta como uma diferencial. (b) A posição de um elétron está determinada com uma incerteza de 0,1 \AA. Se a energia cinética do elétron for da ordem de 1 keV , calcule o momento linear p_{x} em unidades de \mathrm{eV} / \mathrm{c}. (c) Agora, calcule a incerteza da energia em eV . Dados: h c=1240 \mathrm{eV} . \mathrm{nm}, E_{0}=m c^{2}= 511 keV é a energia de repouso do elétron e 1 \AA=10^{-10} \mathrm{~m}.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos dá (lista limpa, sem resolver ainda):
  • Pedidos:
    (a) Mostrar uma formulação alternativa do Princípio da Incerteza que, no caso não relativístico, pode ser escrita como
    \Delta E \Delta x \ge \frac{\hbar}{m} p_{x}.
    (b) Dada a incerteza de posição do elétron \Delta x=0,1\\ \text{\AA} e energia cinética da ordem de 1\\ \text{keV}, calcular o momento linear p_{x} em unidades de \mathrm{eV}/c.
    (c) Calcular a incerteza da energia \Delta E em eV usando a formulação do item (a).
  • Dados numéricos fornecidos:
    • \Delta x = 0,1\\ \text{\AA} = 0{,}1\times10^{-10}\\ \mathrm{m} = 1{,}0\times10^{-11}\\ \mathrm{m}.
    • Energia cinética aproximada E = 1\\ \mathrm{keV} = 1000\\ \mathrm{eV}.
    • h c = 1240\\ \mathrm{eV\cdot nm}.
    • Energia de repouso do elétron E_{0} = m c^{2} = 511\\ \mathrm{keV} = 511000\\ \mathrm{eV}.
    • Convenção pedida no enunciado: tratar o operador \Delta como uma diferencial (ou seja, usar aproximações do tipo \Delta E \approx \mathrm{d}E, \Delta p \approx \mathrm{d}p para obter estimações).

Passo 2

Derivação didática do item (a) — mostrar a desigualdade pedida, passo a passo e com explicações:
  • Começa pela expressão da energia cinética não relativística de uma partícula unidimensional (apenas movimento em x):
    E = \frac{p_{x}^{2}}{2m},
    onde E é a energia cinética, p_{x} é o momento linear na direção x e m é a massa da partícula. Aqui cada símbolo significa:
    • E: energia cinética (unidades de energia, por exemplo eV ou J),
    • p_{x}: momento linear (unidades de momento, por exemplo kg·m/s ou eV/c),
    • m: massa (kg ou via m c^{2} em eV).
  • Agora, tratando \Delta como diferencial (ou seja, fazendo uma estimativa linear pequena), diferenciamos E em relação a p_{x}:
    \mathrm{d}E = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}p_{x}}\!\left(\frac{p_{x}^{2}}{2m}\right)\mathrm{d}p_{x} = \frac{p_{x}}{m}\,\mathrm{d}p_{x}.
    Interpretação: uma pequena variação do momento \mathrm{d}p_{x} produz uma variação da energia \mathrm{d}E dada por \mathrm{d}E=(p_{x}/m)\mathrm{d}p_{x}.
  • Trocar diferenciais por incertezas: como o enunciado permite tratar \Delta como diferencial, aproximamos
    \Delta E \approx \frac{p_{x}}{m}\,\Delta p_{x}.
  • Multiplicando ambos os lados por \Delta x obtemos
    \Delta E\,\Delta x \approx \frac{p_{x}}{m}\,(\Delta p_{x}\,\Delta x).
  • Aplicamos a desigualdade de Heisenberg para posição e momento. A forma estrita e mais conhecida é
    \Delta x\,\Delta p_{x} \gtrsim \frac{\hbar}{2}.
    Entretanto, muitas deduções heurísticas e estimativas de ordem de grandeza usam a versão sem o fator 1/2, ou simplesmente tomam \Delta x\,\Delta p_{x}\sim\hbar. O enunciado pediu explicitamente a forma
    \Delta E\,\Delta x \ge \frac{\hbar}{m}\,p_{x},
    que corresponde à escolha heurística \Delta x\,\Delta p_{x}\gtrsim\hbar. Substituindo essa estimativa na expressão anterior, obtemos:
    \Delta E\,\Delta x \gtrsim \frac{p_{x}}{m}\,\hbar.
    Ou, escrevendo como desigualdade no formato pedido,
    \Delta E\,\Delta x \ge \frac{\hbar}{m}\,p_{x}.
  • Observação pedagógica importante: se se mantivesse o fator estrito \tfrac{\hbar}{2} da versão canônica, a desigualdade viraria
    \Delta E\,\Delta x \gtrsim \frac{\hbar}{2m}\,p_{x},
    ou seja, a diferença é apenas um fator 2. O enunciado especificou a forma com \hbar (sem 1/2); por isso usamos a estimação heurística \Delta p_{x}\,\Delta x\sim\hbar. Em provas, quando o enunciado pede para “tratar \Delta como diferencial” e pede uma formulação alternativa, essa é a linha de raciocínio esperada: diferenciar E(p) e usar a incerteza posição–momento.

Passo 3

Cálculo do momento linear p_{x} (item b), com explicações de unidades e conversões:
  • Relação não relativística entre energia cinética e momento:
    E = \frac{p_{x}^{2}}{2m}\quad\Rightarrow\quad p_{x} = \sqrt{2 m E}.
    Aqui m é a massa do elétron. Para evitar converter massa em kg, usamos a energia de repouso E_{0}=m c^{2} (em eV), o que facilita trabalhar em unidades de eV e em \mathrm{eV}/c para o momento.
  • Manipulação útil: multiplicando e dividindo por c,
    p_{x}c = \sqrt{2 (m c^{2}) E} = \sqrt{2 E_{0} E}.
    Portanto, o valor numérico de p_{x} em unidades \mathrm{eV}/c é simplesmente
    p_{x}\\ \big(\mathrm{eV}/c\big) = \sqrt{2 E_{0} E},
    quando E_{0} e E estão em \mathrm{eV}. Isso economiza cálculos de constantes físicas.
  • Substituindo os números:
    2 E_{0} E = 2\times(511000\\ \mathrm{eV})\times(1000\\ \mathrm{eV}) = 1{,}022\times10^{9}\\ \mathrm{eV}^{2}.
p_{x} = \sqrt{1{,}022\times10^{9}}\\ \mathrm{eV}/c \approx 3{,}20\times10^{4}\\ \mathrm{eV}/c.
(Cálculo: \sqrt{1{,}022}\approx1{,}01098 e \sqrt{10^{9}}=3{,}1623\times10^{4}; produto ≈ 3{,}1968\times10^{4}, arredondando para três algarismos significativos dá 3{,}20\times10^{4}.)
  • Interpretação simples: para E=1\\ \mathrm{keV} o momento do elétron é da ordem de 3\times10^{4}\\ \mathrm{eV}/c (≈ 32\\ \mathrm{keV}/c).

Passo 4

Cálculo da incerteza da energia \Delta E (item c), usando a desigualdade do item (a) e realizando as conversões com cuidado:
  • A desigualdade que vamos usar é
    \Delta E \ge \frac{\hbar\,p_{x}}{m\,\Delta x}.
  • Reescrevemos de forma conveniente usando quantidades em eV e unidades dadas. Multiplicando numerador e denominador por c convenientemente,
    \frac{\hbar p_{x}}{m\Delta x} = \frac{(\hbar c)\,(p_{x}c)}{(m c^{2})\,\Delta x} = \frac{(\hbar c)\,(p_{x}c)}{E_{0}\,\Delta x},
    porque m c^{2}=E_{0}. Nesta forma:
    • \hbar c pode ser obtido de h c fornecido: \hbar c = \dfrac{h c}{2\pi} = \dfrac{1240}{2\pi}\\ \mathrm{eV\cdot nm}\approx197{,}326\\ \mathrm{eV\cdot nm}.
    • p_{x}c é simplesmente o resultado numérico \sqrt{2 E_{0} E} expresso em eV (ver passo anterior); com nossos valores p_{x}c\approx3{,}20\times10^{4}\\ \mathrm{eV}.
    • E_{0}=511000\\ \mathrm{eV}.
    • \Delta x convém em nm, porque \hbar c está em \mathrm{eV\cdot nm}. Como 1\\ \text{\AA}=0{,}1\\ \mathrm{nm}, temos \Delta x=0{,}1\\ \text{\AA}=0{,}01\\ \mathrm{nm}.
  • Agora substituímos:
    \Delta E \gtrsim \frac{(197{,}326\\ \mathrm{eV\cdot nm})\times(3{,}1968\times10^{4}\\ \mathrm{eV})}{511000\\ \mathrm{eV}\times 0{,}01\\ \mathrm{nm}}.
    (Usei o valor mais preciso 3{,}1968\times10^{4} para p_{x}c; arredondamentos só no final.)
  • Fazendo as contas passo a passo:
    • Numerador: 197{,}326\times3{,}1968\times10^{4}\approx6{,}308{,}1\times10^{6}\\ \mathrm{eV^{2}\cdot nm}.
    • Denominador: 511000\times0{,}01 = 5110\\ \mathrm{eV\cdot nm}.
    • Divisão: \Delta E \gtrsim \dfrac{6{,}308{,}1\times10^{6}}{5110}\\ \mathrm{eV}\approx 1{,}235\times10^{3}\\ \mathrm{eV}.
  • Arredondando adequadamente: \Delta E \approx 1{,}23\times10^{3}\\ \mathrm{eV} \approx 1{,}2\\ \mathrm{keV}.
  • Observação interpretativa: a incerteza da energia é da mesma ordem (mesmo um pouco maior) que a energia cinética assumida 1\\ \mathrm{keV}. Isso indica que localizar o elétron tão precisamente ( 0{,}1\\ \text{\AA}) causa uma grande incerteza em sua energia — é um resultado físico consistente: localização muito precisa implica grandes incertezas de momento e, portanto, energia.

Passo 5

Resumo final compacto (preparando a seção de resposta final). Relembrando que usamos a forma heurística \Delta x\,\Delta p_{x}\sim\hbar para obter a forma pedida no enunciado; a forma estrita com o fator 1/2 reduziria os valores numéricos por aproximadamente um fator 2.

Resposta

(a) \displaystyle \Delta E\,\Delta x \ge \frac{\hbar}{m}\,p_{x}.
(b) \displaystyle p_{x}\approx 3{,}20\times10^{4}\\ \mathrm{eV}/c.
(c) \displaystyle \Delta E\approx 1{,}23\times10^{3}\\ \mathrm{eV}.

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