(a) Mostre que uma formulação alternativa para o Princípio da Incerteza de Heisenberg no caso não relativístico pode ser dada por:
onde E é a energia cinética e
. Neste problema, trate o operador
como uma diferencial. (b) A posição de um elétron está determinada com uma incerteza de
. Se a energia cinética do elétron for da ordem de 1 keV , calcule o momento linear
em unidades de
. (c) Agora, calcule a incerteza da energia em eV . Dados:
511 keV é a energia de repouso do elétron e
.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos dá (lista limpa, sem resolver ainda):
-
Pedidos:
(a) Mostrar uma formulação alternativa do Princípio da Incerteza que, no caso não relativístico, pode ser escrita como(b) Dada a incerteza de posição do elétrone energia cinética da ordem de , calcular o momento linear em unidades de .
(c) Calcular a incerteza da energiaem eV usando a formulação do item (a). -
Dados numéricos fornecidos:
-
. - Energia cinética aproximada
. -
. - Energia de repouso do elétron
. - Convenção pedida no enunciado: tratar o operador
como uma diferencial (ou seja, usar aproximações do tipo , para obter estimações).
-
Passo 2
Derivação didática do item (a) — mostrar a desigualdade pedida, passo a passo e com explicações:
-
Começa pela expressão da energia cinética não relativística de uma partícula unidimensional (apenas movimento em
): ondeé a energia cinética, é o momento linear na direção e é a massa da partícula. Aqui cada símbolo significa: -
: energia cinética (unidades de energia, por exemplo eV ou J), -
: momento linear (unidades de momento, por exemplo kg·m/s ou eV/c), -
: massa (kg ou via em eV).
-
-
Agora, tratando
como diferencial (ou seja, fazendo uma estimativa linear pequena), diferenciamos em relação a : Interpretação: uma pequena variação do momentoproduz uma variação da energia dada por . -
Trocar diferenciais por incertezas: como o enunciado permite tratar
como diferencial, aproximamos -
Multiplicando ambos os lados por
obtemos -
Aplicamos a desigualdade de Heisenberg para posição e momento. A forma estrita e mais conhecida éEntretanto, muitas deduções heurísticas e estimativas de ordem de grandeza usam a versão sem o fator
, ou simplesmente tomam . O enunciado pediu explicitamente a forma que corresponde à escolha heurística. Substituindo essa estimativa na expressão anterior, obtemos: Ou, escrevendo como desigualdade no formato pedido, -
Observação pedagógica importante: se se mantivesse o fator estrito
da versão canônica, a desigualdade viraria ou seja, a diferença é apenas um fator. O enunciado especificou a forma com (sem ); por isso usamos a estimação heurística . Em provas, quando o enunciado pede para “tratar como diferencial” e pede uma formulação alternativa, essa é a linha de raciocínio esperada: diferenciar e usar a incerteza posição–momento.
Passo 3
Cálculo do momento linear
(item b), com explicações de unidades e conversões:
-
Relação não relativística entre energia cinética e momento:Aqui
é a massa do elétron. Para evitar converter massa em kg, usamos a energia de repouso (em eV), o que facilita trabalhar em unidades de eV e em para o momento. -
Manipulação útil: multiplicando e dividindo por
, Portanto, o valor numérico deem unidades é simplesmente quandoe estão em . Isso economiza cálculos de constantes físicas. -
Substituindo os números:
(Cálculo:
e
; produto ≈
, arredondando para três algarismos significativos dá
.)
- Interpretação simples: para
o momento do elétron é da ordem de (≈ ).
Passo 4
Cálculo da incerteza da energia
(item c), usando a desigualdade do item (a) e realizando as conversões com cuidado:
-
A desigualdade que vamos usar é
-
Reescrevemos de forma conveniente usando quantidades em eV e unidades dadas. Multiplicando numerador e denominador por
convenientemente, porque. Nesta forma: -
pode ser obtido de fornecido: -
é simplesmente o resultado numérico expresso em eV (ver passo anterior); com nossos valores -
-
convém em nm, porque está em . Como , temos
-
-
Agora substituímos:(Usei o valor mais preciso
para ; arredondamentos só no final.) -
Fazendo as contas passo a passo:
- Numerador:
- Denominador:
- Divisão:
- Numerador:
-
Arredondando adequadamente:
-
Observação interpretativa: a incerteza da energia é da mesma ordem (mesmo um pouco maior) que a energia cinética assumida
. Isso indica que localizar o elétron tão precisamente ( ) causa uma grande incerteza em sua energia — é um resultado físico consistente: localização muito precisa implica grandes incertezas de momento e, portanto, energia.
Passo 5
Resumo final compacto (preparando a seção de resposta final). Relembrando que usamos a forma heurística
para obter a forma pedida no enunciado; a forma estrita com o fator
reduziria os valores numéricos por aproximadamente um fator
.
Resposta
(a)
(b)
(c)