Mostre que as fórmulas de Frenet
sigma^prime=k n, n^prime=-k sigma+tau b, b^prime=-tau n
podem ser escritas como
sigma^prime=omega times sigma, n^prime=omega times n, b^prime=omega times b
Ache o vetor de Darboux omega.

Passo 1

O enunciado quer mostrar que as fórmulas de Frenet–Serret

podem ser escritas como
e pede para achar o vetor de Darboux sigma^prime=k,n, n^prime=-k,sigma+tau,b, b^prime=-tau,n. Vamos usar a definição de produto vetorial e a base de Frenet sigma^prime=omegatimessigma, n^prime=omegatimesn, b^prime=omegatimesb,.

Passo 2

Buscamos um vetor de forma geral
onde omega=a,sigma+b,n+c,b, são escalares a determinar. Queremos que
a,b,c

Passo 3

Para expandir o produto vetorial, usamos as relações da base triédrica
sigmatimesn=b, ntimesb=sigma, btimessigma=n, e as antissimetria do produto vetorial, por exemplo ntimessigma=-b, etc.

Passo 4

Expandindo omegatimessigma:
omegatimessigma=(a,sigma+b,n+c,b)timessigma=b(ntimessigma)+c(btimessigma)=-b,b+c,n Igualando ao lado desejado k,n vemos que c=k e b=0.

Passo 5

Expandindo omegatimesn com b=0,c=k:
Igualando a omegatimesn=(a,sigma+k,b)timesn=a(sigmatimesn)+k(btimesn)=a,b-k,sigma -k,sigma+tau,b.

Passo 6

Por fim, conferimos omegatimesb com a=tau,c=k,b=0:
que confere perfeitamente.

Passo 7

Logo, o vetor de Darboux é
omega=tau,sigma+k,b

Resposta

omega=tau,sigma+k,b

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