Mostre que o raio de curvatura de uma espiral cônica
x=a cos phi cdot e^k phi, y=a sen phi cdot e^k phi, z=b e^k phi
é proporcional à distância entre um ponto da espiral e o eixo do cone.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o raio de curvatura ρ(φ) da espiral cônica parametrizada por
x=acosphi,e^kphi, y=asinphi,e^kphi, z=b,e^kphi
é proporcional à distância do ponto (x,y,z) ao eixo do cone (eixo z). O conteúdo principal é: geometria de curvas no espaço e fórmula do raio de curvatura em parametrização por φ.

Passo 2

Vamos usar a definição de raio de curvatura para curva parametrizada r(φ):
ρ(φ)=|r'(φ)|^3|r'(φ)times r''(φ)|
Então, precisamos computar r’(φ), r’’(φ), seus módulos e o produto vetorial.

Passo 3

Calculemos r’(φ). Definindo
r(φ)=l(acosφ,e^kφ,;asinφ,e^kφ,;b,e^kφr),
usamos derivada do produto e^{kφ}·função:
r'(φ)=e^kφl(a(kcosφ-sinφ),;a(ksinφ+cosφ),;b,kr)
Em seguida, o módulo ao quadrado é
|r'|^2=e^2kφl[a^2(k^2+1)+b^2k^2r],
or seja
|r'|=e^kφraiza^2(k^2+1)+b^2k^2

Passo 4

Agora derivamos novamente para obter r’’:
seja u(φ)=\bigl(a(k\cosφ-\sinφ),a(k\sinφ+\cosφ),b,k\bigr), então r’=e^{kφ}u e
$$u’(φ)=\bigl(a(-k\sinφ-\cosφ),;a(k\cosφ-\sinφ),;0\bigr).
u'(φ)=l(a(-ksinφ-cosφ),;a(kcosφ-sinφ),;0r) r’’=e^{kφ}\bigl(k,u+u’\bigr)
=e{kφ}\bigl(a((k2-1)\cosφ-2k\sinφ),;a((k2-1)\sinφ+2k\cosφ),;b,k2\bigr).
$$

Passo 5

Para o produto vetorial r’×r’’, notamos que ambos têm fator comum e^{kφ}, então
r'times r''=e^2kφl(Utimes Vr),
onde U e V são os vetores sem o e^{kφ}. Fazendo o determinante, chega-se a
|r'times r''|=e^2kφ,araiz(k^2+1)l[a^2(k^2+1)+b^2k^2r]

Passo 6

Agora aplicamos a fórmula do raio de curvatura:
ρ(φ)=|r'|^3|r'times r''| =l(e^kφraizdr)^3e^2kφ,araiz(k^2+1)d =daraizk^2+1,e^kφ,
onde definimos d=a^2(k^2+1)+b^2k^2.

Passo 7

Finalmente, a distância do ponto ao eixo z é
R(φ)=raizx^2+y^2=a,e^kφ
Portanto
ρ(φ)=da^2raizk^2+1;R(φ),
o que mostra que ρ(φ) é proporcional a R(φ).

Resposta

O raio de curvatura é
ρ(φ)=a^2(k^2+1)+b^2k^2a^2raizk^2+1;a,e^kφ,
logo ρ(φ) ∝ raizx^2+y^2, isto é, é proporcional à distância ao eixo do cone.

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