Mostre que o raio de curvatura de uma espiral cônica
é proporcional à distância entre um ponto da espiral e o eixo do cone.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que o raio de curvatura ρ(φ) da espiral cônica parametrizada por
é proporcional à distância do ponto (x,y,z) ao eixo do cone (eixo z). O conteúdo principal é: geometria de curvas no espaço e fórmula do raio de curvatura em parametrização por φ.
Passo 2
Vamos usar a definição de raio de curvatura para curva parametrizada r(φ):
Então, precisamos computar r’(φ), r’’(φ), seus módulos e o produto vetorial.
Passo 3
Calculemos r’(φ). Definindo
usamos derivada do produto e^{kφ}·função:
Em seguida, o módulo ao quadrado é
or seja
Passo 4
Agora derivamos novamente para obter r’’:
seja u(φ)=\bigl(a(k\cosφ-\sinφ),a(k\sinφ+\cosφ),b,k\bigr), então r’=e^{kφ}u e
seja u(φ)=\bigl(a(k\cosφ-\sinφ),a(k\sinφ+\cosφ),b,k\bigr), então r’=e^{kφ}u e
$$u’(φ)=\bigl(a(-k\sinφ-\cosφ),;a(k\cosφ-\sinφ),;0\bigr).
=e{kφ}\bigl(a((k2-1)\cosφ-2k\sinφ),;a((k2-1)\sinφ+2k\cosφ),;b,k2\bigr).
$$
Passo 5
Para o produto vetorial r’×r’’, notamos que ambos têm fator comum e^{kφ}, então
onde U e V são os vetores sem o e^{kφ}. Fazendo o determinante, chega-se a
Passo 6
Agora aplicamos a fórmula do raio de curvatura:
onde definimos
.
Passo 7
Finalmente, a distância do ponto ao eixo z é
Portanto
o que mostra que ρ(φ) é proporcional a R(φ).
Resposta
O raio de curvatura é
logo ρ(φ) ∝