Verifique o Teorema de Green para o campo
e a região dada;
A região triangular com vértices
e
;
e a região dada;
A região triangular com vértices
Passo 1
O enunciado nos dá claramente as seguintes informações (vou listar tudo que temos e o que é pedido):
- O campo vetorial é
. Ou seja, e . - A região
é o triângulo com vértices , e . - O que se pede: verificar o Teorema de Green para esse campo e essa região — isto é, calcular o integral de linha de
ao longo da fronteira com orientação positiva (no sentido anti-horário) e calcular a integral dupla sobre de , e mostrar que são iguais.
Passo 2
Enunciado da versão de Green que vamos usar (explicando o que cada coisa significa):
- À esquerda está a integral de linha de
ao longo da fronteira orientada positivamente (região fica à esquerda quando percorremos ). - À direita está a integral dupla sobre a região
da diferença entre as derivadas parciais e .
Vamos calcular os dois lados explicitamente e verificar que coincidem.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais que aparecem na integranda da integral dupla.
Calculemos
Portanto a integranda é
Passo 4
Descrever a região
para montar a integral dupla. A hipotenusa do triângulo vai de
a
e é dada por
. A base é a reta
entre
e
. O lado vertical é
entre
e
. Uma descrição conveniente de
é
Assim a integral dupla fica
Agora calculamos a integral interna em
:
Simplificando cada termo:
Logo
Agora integramos em
:
Calcule termo a termo:
Somando:
Passo 5
Agora calculamos a integral de linha
diretamente, percorrendo a fronteira
no sentido anti-horário e somando as contribuições dos três lados.
Definimos três arcos orientados anti-horário:
-
: de até (base, reta ); -
: de até (lado vertical ); -
: de até (hipotenusa , sentido descendente).
Calculemos cada um.
Para
: parametrização
. Então
. A integral é
Calculando:
Para
: parametrização
. Então
. A integral é
Calculando:
Para
: parametrização ao longo da hipotenusa
. Tomamos
com
indo de
até
(porque vamos de
para
). Então
. A integral é
Calculemos
:
logo
. Assim
Como
, segue
Somando as três contribuições:
Passo 6
Comparando os resultados:
- Integral dupla:
. - Integral de linha:
.
Portanto os dois lados coincidem, o que verifica o Teorema de Green para o campo e a região dados. Boa! Conseguimos checar as duas formas com contas explícitas.