Verdadeiro/Falso Determine se a afirmação dada é verdadeira ou falsa. Explique sua resposta.
Suponha que em alguma região R do plano x y tenhamos
\iint_{R} f(x, y) d A=0
Se R for subdividida em duas regiões R_{1} e R_{2}, então
\iint_{R_{1}} f(x, y) d A=-\iint_{R_{2}} f(x, y) d A

Passo 1

O enunciado diz que temos uma função f integrável em uma região R do plano xy e que
\iint_{R} f(x,y)\,dA = 0.
Em seguida, R é subdividida em duas sub-regiões R_{1} e R_{2}, de modo que
R = R_{1}\cup R_{2} \quad\text{e}\quad R_{1}\cap R_{2}
é, no máximo, a fronteira comum (de área zero). O conteúdo da matéria envolvido é a propriedade de aditividade das integrais duplas sobre regiões disjuntas.

Passo 2

Pela aditividade da integral dupla em partições compatíveis de R, temos
\iint_{R} f(x,y)\,dA = \iint_{R_{1}} f(x,y)\,dA + \iint_{R_{2}} f(x,y)\,dA.
Isto decorre diretamente da definição de integral como limite de somas de retângulos sobre subdivisões do domínio.

Passo 3

Como nos foi dado que
\iint_{R} f(x,y)\,dA = 0,
substituindo na aditividade obtemos
0 = \iint_{R_{1}} f(x,y)\,dA + \iint_{R_{2}} f(x,y)\,dA,
ou seja,
\iint_{R_{1}} f(x,y)\,dA = -\iint_{R_{2}} f(x,y)\,dA.

Resposta

Verdadeiro.

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