Verdadeiro/Falso Determine se a afirmação dada é verdadeira ou falsa. Explique sua resposta.
Se R for o retângulo \{(x, y): 1 \leq x \leq 4,0 \leq y \leq 3\} \mathrm{e} \int_{0}^{3} f(x, y) d y=2 x, então
\iint_{R} f(x, y) d A=15

Passo 1

O enunciado considera o retângulo
R = \{(x,y)\mid 1 \le x \le 4,\;0 \le y \le 3\}
e diz que, para cada x em [1,4],
\int_{0}^{3} f(x,y)\,dy = 2x.
O que se quer é avaliar o integral duplo
\iint_{R} f(x,y)\,dA
usando o Teorema de Fubini.

Passo 2

Pelo Teorema de Fubini, como f é integrável em R, podemos escrever
\iint_{R} f(x,y)\,dA = \int_{x=1}^{4}\!\!\int_{y=0}^{3} f(x,y)\,dy\,dx.

Passo 3

Substituímos o valor do integral interno dado no enunciado:
\int_{y=0}^{3} f(x,y)\,dy = 2x,
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\iint_{R} f(x,y)\,dA = \int_{1}^{4} 2x\,dx.

Passo 4

Basta calcular
\int_{1}^{4} 2x\,dx = \Bigl[x^{2}\Bigr]_{1}^{4} = 4^{2} - 1^{2} = 16 - 1 = 15.

Resposta

A afirmação é verdadeira.

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