Considere a equação
, para
. Mostre que
são soluções desta equação?
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que as duas funções abaixo são soluções da equação diferencial dada, considerandose
:
As funções fornecidas são
e
Informações relevantes dadas: a equação diferencial linear de segunda ordem e o domínio
(importante porque
só está definido para
). A tarefa é verificar que, ao substituir cada
, a expressão do lado esquerdo se anula para todo
.
Passo 2
Método de verificação (o mais direto): para cada função
vamos calcular
e
e substituir na expressão
Se
para todo
, então
é solução. Antes de calcular, lembro as regras de diferenciação que usarei:
- Regra do poder:
para fixo. - Derivada do logaritmo:
para . - Regra do produto: se
e são diferenciáveis, .
Vou aplicar essas regras passo a passo, sem pular etapas.
Passo 3
Derivadas de
.
Usando regra do produto com
e
:
Portanto
Simplificando o último termo:
Agora derivamos novamente. Derivada de
: aplicar produto em
.
Derivada de
é
. Logo
Passo 4
Substituição de
na equação para verificar:
Vamos distribuir e agrupar termos com
e com
separadamente.
Calcule cada parte:
Somando:
Os coeficientes dos termos se cancelam:
e
. Portanto
Concluímos que
é solução da equação diferencial no domínio
.
Passo 5
Derivadas de
.
Aplicando a regra do poder:
Passo 6
Substituição de
na equação:
Calcule cada termo:
Somando:
Como o domínio considerado é
, temos
para todo
. Assim
também é solução da equação diferencial.