Considere a equação t^{2} y^{\prime \prime}-3 t y^{\prime}+4 y=0, para t>0. Mostre que y_{1}(t)=t^{2} \ln t \mathrm{e} y^{2}(t)=t^{2} são soluções desta equação?

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que as duas funções abaixo são soluções da equação diferencial dada, considerandose t>0:
t^{2}y''-3t y'+4y=0.
As funções fornecidas são
y_{1}(t)=t^{2}\ln t
e
y_{2}(t)=t^{2}.
Informações relevantes dadas: a equação diferencial linear de segunda ordem e o domínio t>0 (importante porque \ln t só está definido para t>0). A tarefa é verificar que, ao substituir cada y, a expressão do lado esquerdo se anula para todo t>0.

Passo 2

Método de verificação (o mais direto): para cada função y(t) vamos calcular y' e y'' e substituir na expressão
L[y](t)=t^{2}y''(t)-3t y'(t)+4y(t).
Se L[y](t)\equiv0 para todo t>0, então y é solução. Antes de calcular, lembro as regras de diferenciação que usarei:
  • Regra do poder: \displaystyle \frac{d}{dt}\bigl(t^{n}\bigr)=n t^{n-1} para n fixo.
  • Derivada do logaritmo: \displaystyle \frac{d}{dt}\bigl(\ln t\bigr)=\frac{1}{t} para t>0.
  • Regra do produto: se u(t) e v(t) são diferenciáveis, \displaystyle (uv)'=u'v+uv'.
    Vou aplicar essas regras passo a passo, sem pular etapas.

Passo 3

Derivadas de y_{1}(t)=t^{2}\ln t.
Usando regra do produto com u(t)=t^{2} e v(t)=\ln t:
u'(t)=2t,\qquad v'(t)=\frac{1}{t}.
Portanto
y_{1}'(t)=(t^{2})' \ln t + t^{2}(\ln t)' = 2t\ln t + t^{2}\cdot\frac{1}{t}.
Simplificando o último termo:
y_{1}'(t)=2t\ln t + t.
Agora derivamos novamente. Derivada de 2t\ln t: aplicar produto em 2t\cdot\ln t.
\frac{d}{dt}(2t\ln t)=2\bigl(\ln t + t\cdot\frac{1}{t}\bigr)=2\ln t +2.
Derivada de t é 1. Logo
y_{1}''(t)=2\ln t +2 +1 = 2\ln t +3.

Passo 4

Substituição de y_{1},y_{1}',y_{1}'' na equação para verificar:
L[y_{1}](t)=t^{2}\bigl(2\ln t +3\bigr)-3t\bigl(2t\ln t + t\bigr)+4\bigl(t^{2}\ln t\bigr).
Vamos distribuir e agrupar termos com t^{2}\ln t e com t^{2} separadamente.
Calcule cada parte:
t^{2}(2\ln t +3)=2t^{2}\ln t +3t^{2},
-3t(2t\ln t + t)=-6t^{2}\ln t -3t^{2},
4(t^{2}\ln t)=4t^{2}\ln t.
Somando:
L[y_{1}](t)=(2t^{2}\ln t -6t^{2}\ln t +4t^{2}\ln t) + (3t^{2}-3t^{2}).
Os coeficientes dos termos se cancelam: 2-6+4=0 e 3-3=0. Portanto
L[y_{1}](t)=0\quad\text{para todo }t>0.
Concluímos que y_{1}(t)=t^{2}\ln t é solução da equação diferencial no domínio t>0.

Passo 5

Derivadas de y_{2}(t)=t^{2}.
Aplicando a regra do poder:
y_{2}'(t)=2t,
y_{2}''(t)=2.

Passo 6

Substituição de y_{2},y_{2}',y_{2}'' na equação:
L[y_{2}](t)=t^{2}\cdot 2 -3t\cdot(2t) +4\cdot t^{2}.
Calcule cada termo:
t^{2}\cdot 2 =2t^{2},\qquad -3t\cdot 2t = -6t^{2},\qquad 4t^{2}=4t^{2}.
Somando:
L[y_{2}](t)=2t^{2}-6t^{2}+4t^{2}=(2-6+4)t^{2}=0\quad\text{para todo }t.
Como o domínio considerado é t>0, temos L[y_{2}](t)=0 para todo t>0. Assim y_{2}(t)=t^{2} também é solução da equação diferencial.

Resposta

y_{1}(t)=t^{2}\ln t é solução da equação diferencial para t>0.\n y_{2}(t)=t^{2} é solução da equação diferencial para t>0.

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