Seja a curva plana \mathbf{r}(t)=\left(t^{2}, t^{3}\right), t \in \mathbb{R}.
Definição: Uma curva regular \mathbf{r}(s) \subset \mathbb{R}^{3}, parametrizada pelo comprimento de arco s, é chamada de hélice se o vetor tangente unitário \mathbf{t}(s) faz um ângulo constante com uma direção fixa no espaço. Equivalentemente, existe um vetor fixo unitário a e uma constante \theta tais que:
\langle\mathbf{t}(s), \mathbf{a}\rangle=\cos \theta, \quad \forall s .
Além disso, uma curva regular é hélice se, e somente se, o quociente entre torção e curvatura é constante:
\frac{\tau(s)}{\kappa(s)}=\text { constante } .
(a) Calcule a curvatura \kappa(t) usando a fórmula
\kappa(t)=\frac{\left|x^{\prime}(t) y^{\prime \prime}(t)-y^{\prime}(t) x^{\prime \prime}(t)\right|}{\left(\left(x^{\prime}(t)\right)^{2}+\left(y^{\prime}(t)\right)^{2}\right)^{3 / 2}} .
(b) Determine o ponto onde \kappa(t) é máxima.

Passo 1

Enunciado e o que se pede. Temos a curva plana
\mathbf{r}(t)=\bigl(t^{2},t^{3}\bigr),\quad t\in\mathbb{R}.
O enunciado fornece a fórmula da curvatura para curvas planas:
\kappa(t)=\frac{\left|x^{\prime}(t)\,y^{\prime\prime}(t)-y^{\prime}(t)\,x^{\prime\prime}(t)\right|}{\bigl(\bigl(x^{\prime}(t)\bigr)^{2}+\bigl(y^{\prime}(t)\bigr)^{2}\bigr)^{3/2}}.
Perguntas:
  1. (a) Calcular \kappa(t) aplicando a fórmula acima.
  2. (b) Determinar o ponto (valor(es) de t) onde \kappa(t) é máxima.
Informações relevantes dadas:
  • A função coordenada x(t)=t^{2} e y(t)=t^{3}.
  • A fórmula de curvatura já está dada (vale para pontos regulares, i.e. onde \mathbf{r}'(t)\neq(0,0)).

Passo 2

Calcular as derivadas necessárias. Vamos derivar x e y duas vezes:
x(t)=t^{2}\quad\Rightarrow\quad x'(t)=2t,\quad x''(t)=2.
y(t)=t^{3}\quad\Rightarrow\quad y'(t)=3t^{2},\quad y''(t)=6t.
Aqui eu mostrei passo a passo: derivada de t^{n} é n t^{n-1}.

Passo 3

Calcular o termo do numerador \,x'(t)\,y''(t)-y'(t)\,x''(t)\, e o valor absoluto:
x'(t)\,y''(t)-y'(t)\,x''(t)=(2t)(6t)-(3t^{2})(2)=12t^{2}-6t^{2}=6t^{2}.
Como 6t^{2}\ge 0 para todo t, o valor absoluto é
\bigl|x'(t)\,y''(t)-y'(t)\,x''(t)\bigr|=6t^{2}.

Passo 4

Calcular o denominador \bigl((x')^{2}+(y')^{2}\bigr)^{3/2}. Primeiro (x')^{2}+(y')^{2}:
(x')^{2}+(y')^{2}=(2t)^{2}+(3t^{2})^{2}=4t^{2}+9t^{4}=t^{2}(4+9t^{2}).
Agora elevamos à potência 3/2:
\bigl((x')^{2}+(y')^{2}\bigr)^{3/2}=\bigl(t^{2}(4+9t^{2})\bigr)^{3/2}=\bigl(t^{2}\bigr)^{3/2}\,(4+9t^{2})^{3/2}=|t|^{3}(4+9t^{2})^{3/2}.
Observação importante: \bigl(t^{2}\bigr)^{3/2}=|t|^{3} porque a potenciação de índice par seguida de raiz faz aparecer valor absoluto.

Passo 5

Substituir numerador e denominador na fórmula da curvatura. Para t\neq 0\) (ver observação sobre regularidade depois), \[\kappa(t)=\frac{6t^{2}}{|t|^{3}(4+9t^{2})^{3/2}}=\frac{6}{|t|(4+9t^{2})^{3/2}}.
Podemos escrever para as duas semirretas:
\kappa(t)=\begin{cases} \dfrac{6}{t(4+9t^{2})^{3/2}}, & t>0,\\[6pt] \dfrac{6}{-t(4+9t^{2})^{3/2}}, & t<0, \end{cases}
mas a forma compacta \kappa(t)=\dfrac{6}{|t|(4+9t^{2})^{3/2}}\] é mais conveniente e mostra imediatamente \(\kappa(-t)=\kappa(t).
Observação sobre t=0: avaliando a derivada da curva em t=0 obtemos
\mathbf{r}'(0)=(2\cdot 0,\,3\cdot 0^{2})=(0,0).
Como \mathbf{r}'(0)=(0,0), o ponto t=0 não é ponto regular (é uma cúspide). A fórmula da curvatura fornecida vale apenas para pontos regulares; portanto \kappa(0) não é definida pela fórmula (temos uma forma 0/0 ao substituir diretamente). Precisamos analisar o limite se quisermos entender o comportamento perto de 0.]

Passo 6

Analisar o comportamento de \kappa(t) perto de t=0 e buscar máximos. Primeiro o limite t\to 0. Usando a expressão simplificada:
\kappa(t)=\frac{6}{|t|(4+9t^{2})^{3/2}}.
Para t\to 0 temos (4+9t^{2})^{3/2}\to 4^{3/2}=8. Assim, para t pequeno
\kappa(t)\sim\frac{6}{|t|\cdot 8}=\frac{3}{4|t|}\to +\infty\quad\text{quando }t\to 0.
Portanto a curvatura cresce sem limite ao nos aproximarmos de t=0.
Agora verificamos se existem máximos locais em t\neq 0. Basta estudar o sinal da derivada de \kappa para t>0 (simetria garante mesmo comportamento para t<0). Definimos para t>0
f(t)=\kappa(t)=\frac{6}{t(4+9t^{2})^{3/2}}.
É conveniente usar log-diferenciação: escrevendo \ln f(t)=\ln 6-\ln t-\tfrac{3}{2}\ln(4+9t^{2}). Derivando,
\frac{f'(t)}{f(t)}=-\frac{1}{t}-\frac{3}{2}\cdot\frac{18t}{\,2(4+9t^{2})\,}=-\frac{1}{t}-\frac{27t}{4+9t^{2}}.
(Detalhe do cálculo: \dfrac{d}{dt}\ln(4+9t^{2})=\dfrac{18t}{4+9t^{2}}. Multiplicando por \tfrac{3}{2} \tfrac{27t}{4+9t^{2}}.)
Para ter um ponto crítico precisaríamos f'(t)=0, i.e. f'(t)/f(t)=0. Isso leva a
-\frac{1}{t}-\frac{27t}{4+9t^{2}}=0.
Multiplicando por t(4+9t^{2}) obtemos
-(4+9t^{2})-27t^{2}=0\quad\Rightarrow\quad-(4+36t^{2})=0\quad\Rightarrow\quad 4+36t^{2}=0,
que não tem solução real. Portanto f'(t) não se anula para t>0. Observando os termos, -\dfrac{1}{t}-\dfrac{27t}{4+9t^{2}}<0 para todo t>0, então f'(t)<0: a função é estritamente decrescente em (0,\infty). Pelo mesmo raciocínio com simetria, \kappa(t) é estritamente decrescente quando t se afasta de 0 em qualquer semieixo.
Conclusão dessa análise:
  • Não existe máximo finito de \kappa(t) em \mathbb{R}\setminus\{0\}, porque \kappa(t)\to+\infty quando t\to 0.
  • O ponto t=0 não é regular (logo a curvatura não está definida ali); porém a curvatura sobe sem limite ao nos aproximarmos de 0.

Passo 7

Interpretação geométrica e recado prático para prova. A curva \mathbf{r}(t)=(t^{2},t^{3}) tem uma cúspide na origem: a velocidade se anula em t=0. Em cúspides a curvatura costuma explodir (ficar arbitrariamente grande) porque a direção da tangente varia muito rapidamente em distâncias muito pequenas. Para questões de prova: sempre verifique regularidade antes de aplicar a fórmula da curvatura; se \mathbf{r}'(t)=0 num ponto, a fórmula direta não vale ali e você deve estudar limites ou concluir que a curvatura é não definida (ou tende a infinito) naquele ponto.

Resposta

(a) \displaystyle \kappa(t)=\frac{6}{|t|\,(4+9t^{2})^{3/2}}, válida para t\neq 0.\n
(b) Não existe ponto de máximo finito: \kappa(t)\to+\infty quando t\to 0, e o ponto t=0 não é regular (logo \kappa(0) não está definida).

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