Seja a curva plana \mathbf{r}(t)=\left(t^{2}, t^{3}\right), t \in \mathbb{R}.
Definição: Uma curva regular \mathbf{r}(s) \subset \mathbb{R}^{3}, parametrizada pelo comprimento de arco s, é chamada de hélice se o vetor tangente unitário \mathbf{t}(s) faz um ângulo constante com uma direção fixa no espaço. Equivalentemente, existe um vetor fixo unitário a e uma constante \theta tais que:
\langle\mathbf{t}(s), \mathbf{a}\rangle=\cos \theta, \quad \forall s .
Além disso, uma curva regular é hélice se, e somente se, o quociente entre torção e curvatura é constante:
\frac{\tau(s)}{\kappa(s)}=\text { constante } .
(a) Calcule a curvatura \kappa(t) usando a fórmula
Observação importante: \bigl(t^{2}\bigr)^{3/2}=|t|^{3} porque a potenciação de índice par seguida de raiz faz aparecer valor absoluto.
Passo 5
Substituir numerador e denominador na fórmula da curvatura. Para t\neq 0\) (ver observação sobre regularidade depois),
\[\kappa(t)=\frac{6t^{2}}{|t|^{3}(4+9t^{2})^{3/2}}=\frac{6}{|t|(4+9t^{2})^{3/2}}.
mas a forma compacta \kappa(t)=\dfrac{6}{|t|(4+9t^{2})^{3/2}}\] é mais conveniente e mostra imediatamente \(\kappa(-t)=\kappa(t).
Observação sobre t=0: avaliando a derivada da curva em t=0 obtemos
\mathbf{r}'(0)=(2\cdot 0,\,3\cdot 0^{2})=(0,0).
Como \mathbf{r}'(0)=(0,0), o ponto t=0 não é ponto regular (é uma cúspide). A fórmula da curvatura fornecida vale apenas para pontos regulares; portanto \kappa(0) não é definida pela fórmula (temos uma forma 0/0 ao substituir diretamente). Precisamos analisar o limite se quisermos entender o comportamento perto de 0.]
Passo 6
Analisar o comportamento de \kappa(t) perto de t=0 e buscar máximos. Primeiro o limite t\to 0. Usando a expressão simplificada:
\kappa(t)=\frac{6}{|t|(4+9t^{2})^{3/2}}.
Para t\to 0 temos (4+9t^{2})^{3/2}\to 4^{3/2}=8. Assim, para t pequeno
Portanto a curvatura cresce sem limite ao nos aproximarmos de t=0.
Agora verificamos se existem máximos locais em t\neq 0. Basta estudar o sinal da derivada de \kappa para t>0 (simetria garante mesmo comportamento para t<0). Definimos para t>0
f(t)=\kappa(t)=\frac{6}{t(4+9t^{2})^{3/2}}.
É conveniente usar log-diferenciação: escrevendo \ln f(t)=\ln 6-\ln t-\tfrac{3}{2}\ln(4+9t^{2}). Derivando,
que não tem solução real. Portanto f'(t) não se anula para t>0. Observando os termos, -\dfrac{1}{t}-\dfrac{27t}{4+9t^{2}}<0 para todo t>0, então f'(t)<0: a função é estritamente decrescente em (0,\infty). Pelo mesmo raciocínio com simetria, \kappa(t) é estritamente decrescente quando t se afasta de 0 em qualquer semieixo.
Conclusão dessa análise:
Não existe máximo finito de \kappa(t) em \mathbb{R}\setminus\{0\}, porque \kappa(t)\to+\infty quando t\to 0.
O ponto t=0 não é regular (logo a curvatura não está definida ali); porém a curvatura sobe sem limite ao nos aproximarmos de 0.
Passo 7
Interpretação geométrica e recado prático para prova. A curva \mathbf{r}(t)=(t^{2},t^{3}) tem uma cúspide na origem: a velocidade se anula em t=0. Em cúspides a curvatura costuma explodir (ficar arbitrariamente grande) porque a direção da tangente varia muito rapidamente em distâncias muito pequenas. Para questões de prova: sempre verifique regularidade antes de aplicar a fórmula da curvatura; se \mathbf{r}'(t)=0 num ponto, a fórmula direta não vale ali e você deve estudar limites ou concluir que a curvatura é não definida (ou tende a infinito) naquele ponto.
Resposta
(a) \displaystyle \kappa(t)=\frac{6}{|t|\,(4+9t^{2})^{3/2}}, válida para t\neq 0.\n
(b) Não existe ponto de máximo finito: \kappa(t)\to+\infty quando t\to 0, e o ponto t=0 não é regular (logo \kappa(0) não está definida).