Mostre que
Passo 1
O enunciado pede para mostrar a igualdade
Informações dadas:
- A variável
é diferente de zero ( ), portanto as divisões por estão definidas. - A tarefa é provar que a expressão à esquerda é igual a
.
Passo 2
Vamos lembrar um conceito-chave: o inverso multiplicativo (ou recíproco).
- Para qualquer número não nulo
, o recíproco é e satisfaz
- Em notação alternativa, o recíproco de
é , e vale .
Isso significa que seentão .
Passo 3
Uma prova direta usando manipulação algébrica elementar.
Defina
Defina
Como
, tem-se
, logo podemos multiplicar ambos os lados por
sem problemas:
Agora multiplica-se ambos os lados por
(novamente permitido porque
):
Portanto o valor de
é
, ou seja
Passo 4
Uma outra forma, mais direta e intuitiva, usando a regra “dividir por uma fração é multiplicar pelo seu recíproco”.
A regra geral é
A regra geral é
Aplicando com
,
,
(ou simplesmente observando que o recíproco de
é
):
Passo 5
Exemplos numéricos rápidos para intuir:
- Se
, então . - Se
, então .
Esses exemplos confirmam a igualdade na prática.
Passo 6
Observação sobre a condição
: é essencial porque se
a expressão
não está definida, então
também não faz sentido. Com
tudo é bem definido e a prova acima vale.