Mostre que
\frac{1}{1 / z}=z \quad(z \neq 0)

Passo 1

O enunciado pede para mostrar a igualdade
\frac{1}{1/z}=z\qquad(z\neq 0).
Informações dadas:
  • A variável \!z é diferente de zero ( z\neq 0), portanto as divisões por z estão definidas.
  • A tarefa é provar que a expressão à esquerda é igual a z.

Passo 2

Vamos lembrar um conceito-chave: o inverso multiplicativo (ou recíproco).
  • Para qualquer número não nulo \!a, o recíproco é \!1/a e satisfaz
a\cdot\frac{1}{a}=1.
  • Em notação alternativa, o recíproco de \!a é a^{-1}, e vale a^{-1}=\dfrac{1}{a}.
    Isso significa que se \!b=\dfrac{1}{a} então \!a\cdot b=1.

Passo 3

Uma prova direta usando manipulação algébrica elementar.
Defina
y=\frac{1}{1/z}.
Como z\neq 0, tem-se \dfrac{1}{z}\neq 0, logo podemos multiplicar ambos os lados por \dfrac{1}{z} sem problemas:
y\cdot\frac{1}{z}=1.
Agora multiplica-se ambos os lados por z (novamente permitido porque z\neq 0):
y = z\cdot 1 = z.
Portanto o valor de y é z, ou seja
\frac{1}{1/z}=z.

Passo 4

Uma outra forma, mais direta e intuitiva, usando a regra “dividir por uma fração é multiplicar pelo seu recíproco”.
A regra geral é
\frac{a}{b/c}=a\cdot\frac{c}{b}\quad(\text{quando }b\neq 0,\\ c\neq 0).
Aplicando com a=1, b=1, c=z (ou simplesmente observando que o recíproco de 1/z é z):
\frac{1}{1/z}=1\cdot\frac{z}{1}=z.

Passo 5

Exemplos numéricos rápidos para intuir:
  • Se z=2, então \dfrac{1}{1/2}=\dfrac{1}{0,5}=2.
  • Se z=-3, então \dfrac{1}{1/(-3)}=\dfrac{1}{-1/3}=-3.
    Esses exemplos confirmam a igualdade na prática.

Passo 6

Observação sobre a condição z\neq 0: é essencial porque se z=0 a expressão \dfrac{1}{z} não está definida, então \dfrac{1}{1/z} também não faz sentido. Com z\neq 0 tudo é bem definido e a prova acima vale.

Resposta

z

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