Seja
dada por
Mostre que
, a imagem de
, está contida no intervalo
.
Passo 1
O enunciado dá a função
definida por
O que o problema pede: mostrar que a imagem de
,
está contida no intervalo
. Em outras palavras, é preciso provar que, para todo
no domínio, vale
.
Passo 2
Primeiro lembro o significado dos símbolos que vamos usar:
-
é o conjunto dos inteiros naturais positivos . - A imagem
é o conjunto de todos os valores quando percorre o domínio. - O intervalo
significa todos os números tais que e .
Portanto, para provar a inclusão
basta mostrar que, para todo
,
Passo 3
Trabalhamos com a fração
. Como
, temos
. Para
valem duas observações simples e importantes:
Explicando por que:
é positivo, logo sua recíproca
é positiva; e como
temos
(por exemplo, multiplicando
por
— como
a desigualdade mantém o sentido — obtemos
).
Passo 4
Agora somamos
aos termos da desigualdade do Passo 3. Da desigualdade
segue, somando
em cada membro,
Isto é exatamente a desigualdade que queríamos: para qualquer
do domínio,
satisfaz
.
Passo 5
Como a desigualdade do Passo 4 vale para todo
, concluímos que cada valor
pertence ao intervalo
. Logo
Para completar a intuição (e confirmar os extremos):
, então
pertence à imagem; por outro lado, se houvesse
com
então teríamos
, o que é impossível para
positivo, portanto
não pertence à imagem e o lado esquerdo do intervalo é aberto. Além disso a sequência
é decrescente e tende para
quando
, o que explica por que a imagem fica “entre”
e
.