Seja f: \mathbb{N} \backslash\{0\} \rightarrow \mathbb{Q} dada por
f(n)=1+\frac{1}{n}
Mostre que \operatorname{Im}(f), a imagem de f, está contida no intervalo (1,2].

Passo 1

O enunciado dá a função f:\mathbb{N}\setminus\{0\}\to\mathbb{Q} definida por
f(n)=1+\frac{1}{n}.
O que o problema pede: mostrar que a imagem de f,
\operatorname{Im}(f)=\{\,f(n)\mid n\in\mathbb{N}\setminus\{0\}\,\},
está contida no intervalo (1,2]. Em outras palavras, é preciso provar que, para todo n no domínio, vale 1< f(n)\le 2.

Passo 2

Primeiro lembro o significado dos símbolos que vamos usar:
  • \mathbb{N}\setminus\{0\} é o conjunto dos inteiros naturais positivos \{1,2,3,\dots\}.
  • A imagem \operatorname{Im}(f) é o conjunto de todos os valores f(n) quando n percorre o domínio.
  • O intervalo (1,2] significa todos os números x tais que x>1 e x\le 2.
Portanto, para provar a inclusão \operatorname{Im}(f)\subset(1,2] basta mostrar que, para todo n\in\mathbb{N}\setminus\{0\},
1<1+\frac{1}{n}\le 2.

Passo 3

Trabalhamos com a fração \dfrac{1}{n}. Como n\in\mathbb{N}\setminus\{0\}, temos n\ge 1. Para n\ge 1 valem duas observações simples e importantes:
\frac{1}{n}>0 \qquad\text{e}\qquad \frac{1}{n}\le 1.
Explicando por que: n é positivo, logo sua recíproca \dfrac{1}{n} é positiva; e como n\ge1 temos 1/n\le 1 (por exemplo, multiplicando 1\le n por 1/n — como 1/n>0 a desigualdade mantém o sentido — obtemos 1/n\le 1).

Passo 4

Agora somamos 1 aos termos da desigualdade do Passo 3. Da desigualdade
0<\frac{1}{n}\le 1
segue, somando 1 em cada membro,
1<1+\frac{1}{n}\le 2.
Isto é exatamente a desigualdade que queríamos: para qualquer n do domínio, f(n)=1+\dfrac{1}{n} satisfaz 1< f(n)\le 2.

Passo 5

Como a desigualdade do Passo 4 vale para todo n\in\mathbb{N}\setminus\{0\}, concluímos que cada valor f(n) pertence ao intervalo (1,2]. Logo
\operatorname{Im}(f)\subset(1,2].
Para completar a intuição (e confirmar os extremos): f(1)=1+\dfrac{1}{1}=2, então 2 pertence à imagem; por outro lado, se houvesse n com f(n)=1 então teríamos \dfrac{1}{n}=0, o que é impossível para n positivo, portanto 1 não pertence à imagem e o lado esquerdo do intervalo é aberto. Além disso a sequência \big(f(n)\big)_{n\ge1} é decrescente e tende para 1 quando n\to\infty, o que explica por que a imagem fica “entre” 1 e 2.

Resposta

\operatorname{Im}(f)\subset(1,2]

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