Seja A=\{ pedra, papel, tesoura \}. Considere f: A \rightarrow A a função definida por
f(x)=y, \quad \text { tal que } x \text { ganha de } y .
Mostre que f^{3}=i d.

Passo 1

O enunciado dá o conjunto A=\{\text{pedra},\text{papel},\text{tesoura}\} e uma função f:A\to A definida por
f(x)=y,\quad\text{tal que }x\text{ ganha de }y.
O que se pede: mostrar que f^{3}=\mathrm{id}_A, isto é, que ao compor f consigo mesma três vezes obtemos a função identidade em A (para todo x\in A, f^{3}(x)=x).
Informações relevantes dadas:
  • O conjunto A tem exatamente os três elementos mencionados.
  • A regra “ x ganha de y” refere-se às regras usuais do jogo pedra-papel-tesoura:
    • pedra ganha de tesoura;
    • tesoura ganha de papel;
    • papel ganha de pedra.
  • A função f associa a cada elemento x\in A o elemento y\in A que é derrotado por x (há exatamente um tal y para cada x).

Passo 2

Explicar claramente o que significa aplicar f sucessivas vezes. A composição de funções é assim definida: para duas funções g,h:A\to A a composição g\circ h é a função que envia x em g(h(x)). A notação iterada é
f^{1}=f,\qquad f^{2}=f\circ f,\qquad f^{3}=f\circ f\circ f,
ou seja, f^{2}(x)=f(f(x)) e f^{3}(x)=f(f(f(x))). A identidade em A, denotada \mathrm{id}_A, é a função que envia cada elemento em si mesmo:
\mathrm{id}_A(x)=x\quad\text{para todo }x\in A.

Passo 3

Usar as regras do jogo para escrever explicitamente f em cada um dos três pontos (isto vem diretamente da definição do enunciado e das regras do jogo):
f(\text{pedra})=\text{tesoura}, \qquad f(\text{tesoura})=\text{papel}, \qquad f(\text{papel})=\text{pedra}.
Observação didática: aqui estamos apenas traduzindo a frase “ x ganha de y” em pares concretos. Cada elemento de A tem exatamente um elemento que ele derrota, logo f está bem definida.

Passo 4

Calcular f^{2}(\text{pedra}) e f^{3}(\text{pedra}) passo a passo:
f(\text{pedra})=\text{tesoura},
f^{2}(\text{pedra})=f(f(\text{pedra}))=f(\text{tesoura})=\text{papel},
f^{3}(\text{pedra})=f(f^{2}(\text{pedra}))=f(\text{papel})=\text{pedra}.
Portanto f^{3}(\text{pedra})=\text{pedra}, que é exatamente a identidade no elemento pedra.

Passo 5

Calcular f^{2}(\text{tesoura}) e f^{3}(\text{tesoura}) passo a passo:
f(\text{tesoura})=\text{papel},
f^{2}(\text{tesoura})=f(\text{papel})=\text{pedra},
f^{3}(\text{tesoura})=f(\text{pedra})=\text{tesoura}.
Logo f^{3}(\text{tesoura})=\text{tesoura}.

Passo 6

Calcular f^{2}(\text{papel}) e f^{3}(\text{papel}) passo a passo:
f(\text{papel})=\text{pedra},
f^{2}(\text{papel})=f(\text{pedra})=\text{tesoura},
f^{3}(\text{papel})=f(\text{tesoura})=\text{papel}.
Assim f^{3}(\text{papel})=\text{papel}.

Passo 7

Conclusão: mostramos que para cada elemento x\in A (pedra, tesoura, papel) vale f^{3}(x)=x. Portanto a função f^{3} coincide com a identidade em todos os pontos de A. Em notação de funções:
f^{3}=\mathrm{id}_A.
Comentário intuitivo (didático e leve): f é uma permutação cíclica dos três elementos (um ciclo de comprimento 3). Ao aplicar f três vezes volta-se ao ponto de partida — é como andar três passos num círculo de três cadeiras: volta-se à cadeira inicial.

Resposta

f^{3}=\mathrm{id}_A

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