Seja
pedra, papel, tesoura
. Considere
a função definida por
Mostre que
.
Passo 1
O enunciado dá o conjunto
e uma função
definida por
O que se pede: mostrar que
, isto é, que ao compor
consigo mesma três vezes obtemos a função identidade em
(para todo
,
).
Informações relevantes dadas:
- O conjunto
tem exatamente os três elementos mencionados. - A regra “
ganha de ” refere-se às regras usuais do jogo pedra-papel-tesoura: - pedra ganha de tesoura;
- tesoura ganha de papel;
- papel ganha de pedra.
- A função
associa a cada elemento o elemento que é derrotado por (há exatamente um tal para cada ).
Passo 2
Explicar claramente o que significa aplicar
sucessivas vezes. A composição de funções é assim definida: para duas funções
a composição
é a função que envia
em
. A notação iterada é
ou seja,
e
. A identidade em
, denotada
, é a função que envia cada elemento em si mesmo:
Passo 3
Usar as regras do jogo para escrever explicitamente
em cada um dos três pontos (isto vem diretamente da definição do enunciado e das regras do jogo):
Observação didática: aqui estamos apenas traduzindo a frase “
ganha de
” em pares concretos. Cada elemento de
tem exatamente um elemento que ele derrota, logo
está bem definida.
Passo 4
Calcular
e
passo a passo:
Portanto
, que é exatamente a identidade no elemento pedra.
Passo 5
Calcular
e
passo a passo:
Logo
.
Passo 6
Calcular
e
passo a passo:
Assim
.
Passo 7
Conclusão: mostramos que para cada elemento
(pedra, tesoura, papel) vale
. Portanto a função
coincide com a identidade em todos os pontos de
. Em notação de funções:
Comentário intuitivo (didático e leve):
é uma permutação cíclica dos três elementos (um ciclo de comprimento 3). Ao aplicar
três vezes volta-se ao ponto de partida — é como andar três passos num círculo de três cadeiras: volta-se à cadeira inicial.