Mostre que a função
onde
satisfaz a equação de Laplace
Passo 1
O enunciado pede para verificar que a função
satisfaz a equação de Laplace em coordenadas cartesianas
Vamos usar diferenciação parcial e a regra da cadeia.
Passo 2
Observamos primeiro que
Como
, pelas derivadas parciais de
temos
Aplicando a regra da cadeia em
obtemos as primeiras derivadas:
Passo 3
Agora calculamos as segundas derivadas. Para
derivamos
em relação a
, usando produto e cadeia:
De modo análogo, para
:
Passo 4
Somando as duas segundas derivadas:
Resposta
A função
satisfaz