Mostre que a função
u=ln 1r
onde r=raizx^2+y^2 satisfaz a equação de Laplace
partial^2 upartial x^2+partial^2 upartial y^2=0

Passo 1

O enunciado pede para verificar que a função
u(x,y)=ln1r, r=raizx^2+y^2,
satisfaz a equação de Laplace em coordenadas cartesianas
partial^2upartial x^2+partial^2upartial y^2=0
Vamos usar diferenciação parcial e a regra da cadeia.

Passo 2

Observamos primeiro que
u=-ln r
Como r=(x^2+y^2)^1/2, pelas derivadas parciais de r temos
partial rpartial x=xr, partial rpartial y=yr
Aplicando a regra da cadeia em u=-ln r obtemos as primeiras derivadas:
partial upartial x =-1r,partial rpartial x =-xr^2, partial upartial y =-1r,partial rpartial y =-yr^2

Passo 3

Agora calculamos as segundas derivadas. Para partial^2u/partial x^2 derivamos partial u/partial x=-x/r^2 em relação a x, usando produto e cadeia:
partial^2upartial x^2 =partialpartial xl(-xr^2r) =-1r^2 +(-x)cdotl(-2r)1r^3partial rpartial x =-1r^2+2x^2r^4 =x^2-y^2r^4
De modo análogo, para partial^2u/partial y^2:
partial^2upartial y^2 =-1r^2+2y^2r^4 =y^2-x^2r^4

Passo 4

Somando as duas segundas derivadas:
partial^2upartial x^2 +partial^2upartial y^2 =x^2-y^2r^4+y^2-x^2r^4 =0

Resposta

A função u=ln(1/r) satisfaz
partial^2upartial x^2+partial^2upartial y^2=0

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