Mostre que a “função” $ \delta $ satisfaz às seguintes propriedades:
de

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a “função” δ (delta de Dirac) é par, ou seja, que δ(−x)=δ(x). Vamos usar a definição de δ como distribuição linear que satisfaz integral-infty^+infty f(x),de para toda função teste f.

Passo 2

Para provar igualdade de distribuições, computamos integral-infty^+infty f(x),de e comparamos com integral-infty^+infty f(x),de.
Façamos a substituição de variável u = -x. Então du = -dx, e quando x vai de -infty a +infty, u vai de +infty a -infty. Invertendo os limites, obtemos:
integral-infty^+infty f(x),de

Passo 3

Como de “seleciona” u=0, temos integral-infty^+infty f(-u),de. Mas também integral-infty^+infty f(x),de.
Visto que para toda função teste f vale integral f(x),de, concluímos que as distribuições de e de são iguais. Portanto, de.

Resposta

de

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