Mostre que a “função” $ \delta $ satisfaz às seguintes propriedades:
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a “função” δ (delta de Dirac) é par, ou seja, que δ(−x)=δ(x). Vamos usar a definição de δ como distribuição linear que satisfaz
para toda função teste
.
Passo 2
Para provar igualdade de distribuições, computamos
e comparamos com
.
Façamos a substituição de variável . Então
, e quando
vai de
a
,
vai de
a
. Invertendo os limites, obtemos:
Façamos a substituição de variável
Passo 3
Como
“seleciona”
, temos
. Mas também
.
Visto que para toda função teste vale
, concluímos que as distribuições
e
são iguais. Portanto,
.
Visto que para toda função teste