Encontre as assíntotas verticais das funções abaixo, caso existam.
j) f(x)=4 x+raizx^2+1raizx^2-4 x+4

Passo 1

O enunciado nos pede para encontrar as assíntotas verticais da função f(x)=4x+raizx^2+1raizx^2-4x+4. O conteúdo envolve limites em pontos de descontinuidade e definição de assíntota vertical. Vamos precisar determinar o domínio da função e estudar os limites quando x se aproxima dos pontos onde a função não está definida.

Passo 2

Para identificar o domínio, observamos que a raiz no numerador, raizx^2+1, está sempre definida para todo xinR. A raiz no denominador exige x^2-4x+4>=0, mas como x^2-4x+4=(x-2)^2, esse termo é sempre não negativo. A única restrição extra vem do fato de não podermos dividir por zero, ou seja, raiz(x-2)^2neq0, o que implica xneq2. Portanto o domínio é Rsetminus2.

Passo 3

Para xneq2, podemos simplificar o denominador usando valor absoluto. Temos:
raizx^2-4x+4=raiz(x-2)^2=|x-2|
Logo, podemos reescrever para x>2 e x<2 separadamente.

Passo 4

Para x>2, temos |x-2|=x-2, então
f(x)=4x+raizx^2+1x-2
Ao aproximar xto2^+, o numerador tende a 8+raiz5 (um valor positivo) e o denominador tende a zero pelo lado positivo, logo
limxto2^+f(x)=+infty

Passo 5

Para x<2, temos |x-2|=2-x, então
f(x)=4x+raizx^2+12-x
Ao aproximar xto2^-, o numerador tende a 8+raiz5 (positivo) e o denominador tende a zero pelo lado positivo, logo
limxto2^-f(x)=+infty

Passo 6

Como em ambos os lados f(x) diverge para +infty quando xto2, concluímos que existe uma assíntota vertical em x=2.

Resposta

x = 2

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