Mostre que a função
satisfaz a equação do calor
Passo 1
O enunciado pede para mostrarmos que a função
satisfaz a equação do calor em
:
Para isso, vamos calcular primeiro
usando regra do produto e cadeia, e depois
(valendo-se da simetria para
), e comparar.
Passo 2
Defina
de modo que
.
- Derivada de
:
- Derivada de
em relação a : se então
- Logo, por produto,
Passo 3
Vamos achar
. Primeiro
Derivando de novo em
:
Pelos mesmos cálculos (simetria) em
e
obtemos
Somando:
Passo 4
Comparando os resultados de
e da soma dos segundos derivados espaciais, vemos que
isto é,
satisfaz a equação do calor em três dimensões.
Resposta
A função dada satisfaz a equação do calor.