Mostre que a função
u(x, y, z, t)=1(4 pi t)^32 e^-x^2+y^2+z^24 t, t>0
satisfaz a equação do calor
partial upartial t=partial^2 upartial x^2+partial^2 upartial y^2+partial^2 upartial z^2

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que a função
u(x,y,z,t)=1(4pi t)^3/2expl(-x^2+y^2+z^24tr), t>0,
satisfaz a equação do calor em R^3:
partial upartial t =partial^2 upartial x^2 +partial^2 upartial y^2 +partial^2 upartial z^2
Para isso, vamos calcular primeiro partial u/partial t usando regra do produto e cadeia, e depois partial^2u/partial x^2 (valendo-se da simetria para y,z), e comparar.

Passo 2

Defina
A(t) = (4pi t)^-3/2, B(x,y,z,t)=expl(-x^2+y^2+z^24tr),
de modo que u=A,B.
  1. Derivada de A:
A'(t) =-32,t^-1,A(t) =-32t,A
  1. Derivada de B em relação a t: se F=-x^2+y^2+z^24t então
partial Fpartial t =x^2+y^2+z^24t^2, partial Bpartial t =Bcdotpartial Fpartial t =x^2+y^2+z^24t^2,B
  1. Logo, por produto,
partial upartial t =A'B + A,B' =ul(-32t+x^2+y^2+z^24t^2r)

Passo 3

Vamos achar partial^2u/partial x^2. Primeiro
partial upartial x =A,Bcdotl(-x2tr) =-x2t,u
Derivando de novo em x:
partial^2 upartial x^2 =partialpartial xl(-x2tur) =-12tu -x2tpartial upartial x =-12tu +x^24t^2u =ul(-12t+x^24t^2r)
Pelos mesmos cálculos (simetria) em y e z obtemos
partial^2 upartial y^2 =ul(-12t+y^24t^2r), partial^2 upartial z^2 =ul(-12t+z^24t^2r)
Somando:
partial^2 upartial x^2 +partial^2 upartial y^2 +partial^2 upartial z^2 =ul(-32t+x^2+y^2+z^24t^2r)

Passo 4

Comparando os resultados de partial u/partial t e da soma dos segundos derivados espaciais, vemos que
partial upartial t =partial^2 upartial x^2 +partial^2 upartial y^2 +partial^2 upartial z^2,
isto é, u satisfaz a equação do calor em três dimensões.

Resposta

A função dada satisfaz a equação do calor.

Exercícios relacionados