Resolva os problemas de valor incial abaixo pelo método das séries de potências, encontrando até o termo de ordem 5:
ly^prime prime-3 x y^prime+x^2 y=0 y(0)=-1, y^prime(0)=-1

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
y'' - 3x,y' + x^2,y = 0, y(0) = -1, y'(0) = -1,
usando séries de potências até o termo de ordem 5. O conteúdo é o método de séries de potências para EDOs, que consiste em assumir
y(x) = sumn=0^inftyan,x^n
e determinar os an pela recorrência obtida ao substituir na equação.

Passo 2

Assumimos
y = sumn=0^inftyan,x^n, y' = sumn=1^inftyn,an,x^n-1, y'' = sumn=2^inftyn(n-1),an,x^n-2
Substituindo em y''-3x,y'+x^2y=0 obtemos
sumn=2^infty n(n-1)an,x^n-2 -3sumn=1^infty n,an,x^n +sumn=0^infty an,x^n+2=0
Reindexando todos como potências x^k leva a uma única soma.

Passo 3

Para igualar coeficientes de
Isto gera a recorrência
com as condições iniciais .

Passo 4

Usando a0=-1, a1=-1:
  • Para k=0: 2cdot1,a2=0 a2=0.
  • Para k=1: 3cdot2,a3-3cdot1,a1=0 6a3-3(-1)=0 a3=-tfrac12.
  • Para k=2: a4=3cdot2,a2 - a04cdot3 =0-(-1)12=tfrac112
  • Para k=3: a5=3cdot3,a3 - a15cdot4 =9(-tfrac12)-(-1)20 =-tfrac740

Resposta

y(x)=a0 + a1x + a2x^2 + a3x^3 + a4x^4 + a5x^5 + cdots =-1 - x + 0cdot x^2 - tfrac12x^3 + tfrac112x^4 - tfrac740x^5 + cdots

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