Mostre que a função
u(x, t)=sen(a t+varphi) sen(x)
satisfaz a equação das vibrações da corda
partial^2 upartial t^2=a^2 partial^2 upartial x^2
onde a, varphi são constantes.

Passo 1

O enunciado dá a função
u(x,t)=sinl(a,t+varphir),sin(x)
e pede para mostrar que ela satisfaz a equação da vibração da corda
partial^2upartial t^2=a^2,partial^2upartial x^2
Para isso, vamos calcular ambas as segundas derivadas parciais e comparar.

Passo 2

Calculemos primeiro a derivada parcial em relação a t. Como sin(x) é tratado como constante, aplica-se a regra da cadeia em sin(a,t+varphi):
partial upartial t =cosl(a,t+varphir),l(ar),sin(x) = a,cosl(a,t+varphir),sin(x)
Agora derivamos novamente em t, lembrando que a derivada de cos é -sin:
partial^2upartial t^2 = a;partialpartial tl[cos(a,t+varphi)r],sin(x) = a;l[-sin(a,t+varphi)r];a,sin(x) = -a^2,sinl(a,t+varphir),sin(x)

Passo 3

Agora a segunda derivada parcial em relação a x. Trata-se de derivar sin(x) mantendo sin(a,t+varphi) como constante:
partial upartial x =sinl(a,t+varphir),cos(x),
e novamente:
partial^2upartial x^2 =sinl(a,t+varphir),ddxl[cos(x)r] =sinl(a,t+varphir),l[-sin(x)r] =-sinl(a,t+varphir),sin(x)

Passo 4

Multiplicando partial^2upartial x^2 por a^2 fica
a^2,partial^2upartial x^2 = a^2,l[-sin(a,t+varphi),sin(x)r] = -a^2,sin(a,t+varphi),sin(x)
Comparando com o resultado de partial^2upartial t^2, vemos que são idênticos.

Resposta

Como
partial^2upartial t^2 =-a^2,sin(a,t+varphi),sin(x) e a^2,partial^2upartial x^2 =-a^2,sin(a,t+varphi),sin(x),
concluímos que
partial^2upartial t^2 = a^2,partial^2upartial x^2,
ou seja, u(x,t) satisfaz a equação das vibrações da corda.

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