Resolva os problemas de valor incial abaixo pelo método das séries de potências, encontrando até o termo de ordem 5:
l(x^2+1) y^prime prime-y^prime+x y=0 y(0)=-1, y^prime(0)=1

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
(x^2+1),y'' - y' + x,y = 0, y(0)=-1,;y'(0)=1
pelo método de séries de potências, encontrando os termos até ordem x^5. Vamos assumir uma expansão
y(x)=sumn=0^inftyan,x^n
e determinar os coeficientes an.

Passo 2

Calculemos as derivadas em série:
y'=sumn=1^inftyn,an,x^n-1, y''=sumn=2^inftyn(n-1),an,x^n-2
Substituindo em (x^2+1)y''-y'+x,y=0 e reindexando para coletar potências x^m, obtemos a relação de recorrência
(m+2)(m+1),am+2;+;m(m-1),am;-;(m+1),am+1;+;am-1;=;0,
válida para todo m>=0, com a convenção de que a-1=0. As condições iniciais dão
a0=y(0)=-1, a1=y'(0)=1

Passo 3

Para m=0 e m=1 a relação resulta em equações:
Para m=0:
2cdot1,a2 ;-;1cdot a1=0 Longrightarrow a2=a12=tfrac12
Para m=1:
3cdot2,a3 ;-;2,a2 + a0=0 Longrightarrow 6,a3=2a2 - a0 Longrightarrow a3=2cdottfrac12 -(-1)6=tfrac13

Passo 4

Para m>=2 usamos
am+2 =(m+1)am+1-m(m-1)am - am-1(m+2)(m+1)
Com m=2:
a4=3a3 -2a2 -a112 =3cdottfrac13 -2cdottfrac12 -112 =-tfrac112
Com m=3:
a5=4a4 -6a3 -a220 =4(-tfrac112) -6cdottfrac13 -tfrac1220 =-tfrac17120

Passo 5

Reunindo os coeficientes até x^5, a solução em série fica
y(x) =a0 + a1x + a2x^2 + a3x^3 + a4x^4 + a5x^5 + cdots = -1 + x + tfrac12x^2 + tfrac13x^3 - tfrac112x^4 - tfrac17120x^5 + cdots

Resposta

y(x) = -1 + x + tfrac12x^2 + tfrac13x^3 - tfrac112x^4 - tfrac17120x^5 + O(x^6)

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