Usando o Método das Secantes, encontre um valor aproximado para
com erro
.
Passo 1
O enunciado pede: usar o Método das Secantes para encontrar um valor aproximado de
tal que o erro satisfaça
.
Informações dadas:
- Queremos a raiz real positiva da equação
, ou seja a solução de com
- Precisamos uma aproximação
com erro absoluto (no valor de ) menor ou igual a .
Pergunta a responder:
- Aplicar o Método das Secantes e fornecer um valor aproximado para
com .
Passo 2
O que é o Método das Secantes e a fórmula prática que vamos usar.
Pequena aula (bem direta): o Método das Secantes é um método iterativo para achar raízes de
. Em vez de usar a derivada (como em Newton), ele aproxima a derivada por uma razão de diferença entre dois pontos anteriores. Dados dois pontos iniciais
e
, a iteração produz
Explicando cada símbolo:
-
e são as duas últimas aproximações conhecidas; -
e são os valores da função nesses pontos; -
é a nova aproximação obtida pela intersecção da secante (reta que passa pelos pontos e ) com o eixo .
Critério de parada prático: para garantir erro absoluto
em
, usamos o critério numérico
que é um critério padrão e, para funções bem comportadas (aqui
é suave), indica que já estamos dentro da tolerância pedida.
Passo 3
Escolha de duas aproximações iniciais razoáveis e avaliação inicial de
.
Escolho
e
. Justificativa rápida:
e
, portanto existe uma raiz entre
e
(teorema do valor intermediário) — são escolhas simples e comuns na prova.
Avalio
nesses pontos:
Passo 4
Cálculo da primeira iteração
(aplicando a fórmula da secante com
e
).
Fórmula:
Substituindo:
Valor decimal (útil para as próximas contas):
Calcule
:
Passo 5
Cálculo da segunda iteração
usando
e
.
Fórmula (com
):
Substituindo números (vou mostrar passo a passo os valores numéricos para você poder repetir na prova):
-
, -
, -
, -
.
Calcule a fração:
Agora
Arredondando razoavelmente para as próximas contas:
Calculando
(para usar na próxima iteração):
ou seja
.
Passo 6
Cálculo de
usando
e
.
Fórmula:
Valores a usar (aproximados, mantidos com precisão suficiente):
-
, -
, -
, -
.
Calcule a fração:
Agora
Fazendo a conta com mais cuidado (para manter boa precisão):
então
Reesumindo e arredondando com precisão suficiente:
Calcule
(aprox.):
ou seja
já ficou muito pequeno (positivo).
Passo 7
Cálculo de
usando
e
.
Fórmula:
Valores aproximados:
-
, -
, -
, -
.
Calcule a fração:
Então
Arredondando:
Observação: nas contas acima houve arredondamentos intermediários para facilitar leitura; o comportamento é: as iterações estão se aproximando de aproximadamente
, a raiz buscada.
Passo 8
Continuar iterações até atingir o critério de parada
.
Para que não fique só no ar: prosseguindo as iterações (fazendo as contas com precisão suficiente, repetindo a mesma fórmula da secante), obtém-se a sequência aproximada (valores mostrados com precisão conveniente):
Verificação do critério:
Esse valor ainda é maior que
, então precisamos mais uma iteração:
-
.
Agora:
portanto o critério de parada
fica satisfeito com
.
Notas sobre a precisão: para um relatório ou prova, o que importa é mostrar a fórmula, aplicar iterativamente com atenção aos cálculos e parar quando
. As iterações acima demonstram que, começando em
e
, o método converge para o valor buscado e atinge a tolerância em poucas iterações.
Passo 9
Interpretação final e checagem do erro.
O valor obtido com a última iteração é
Podemos checar rapidamente que esse valor é coerente:
e a diferença entre as duas últimas iterações foi menor que
, o que confirma que a aproximação em
tem erro absoluto
.
Resposta
1{,}709975946676697